Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 12527 / 12397
↖ ↑ ↗
← S 67.449657°
E 95.251465°		 ← 936.96 m → S 67.449657°
E 95.273437°		 →
↑
936.79 m
↓
↑
936.79 m
↓
S 67.458082°
E 95.251465°		 ← 936.63 m →
877 582 m²		 S 67.458082°
E 95.273437°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 12527 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 12397 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.764617919921875 y=0.756683349609375 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.764617919921875 × 214)
    floor (0.764617919921875 × 16384)
    floor (12527.5)     		tx = 12527
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.756683349609375 × 214)
    floor (0.756683349609375 × 16384)
    floor (12397.5)     		ty = 12397
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 12527 / 12397 ti = "14/12527/12397"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/12527/12397.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 12527 ÷ 214
    12527 ÷ 16384     		x = 0.76458740234375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 12397 ÷ 214
    12397 ÷ 16384     		y = 0.75665283203125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.76458740234375 × 2 - 1) × π
    0.5291748046875 × 3.1415926535     		Λ = 1.66245168
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.75665283203125 × 2 - 1) × π
    -0.5133056640625 × 3.1415926535     		Φ = -1.61259730321869
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.66245168} λ = 1.66245168}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.61259730321869))-π/2
    2×atan(0.199369118967717)-π/2
    2×0.196788869941505-π/2
    0.393577739883009-1.57079632675     		φ = -1.17721859
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.66245168} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 95.251465°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.17721859 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -67.449657°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 12527 KachelY 12397 1.66245168 -1.17721859 95.251465 -67.449657
    Oben rechts KachelX + 1 12528 KachelY 12397 1.66283517 -1.17721859 95.273437 -67.449657
    Unten links KachelX 12527 KachelY + 1 12398 1.66245168 -1.17736563 95.251465 -67.458082
    Unten rechts KachelX + 1 12528 KachelY + 1 12398 1.66283517 -1.17736563 95.273437 -67.458082
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.17721859--1.17736563) × R
    0.000147039999999876 × 6371000     		dl = 936.791839999211m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.17721859--1.17736563) × R
    0.000147039999999876 × 6371000     		dr = 936.791839999211m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.66245168-1.66283517) × cos(-1.17721859) × R
    0.000383489999999931 × 0.383495055997678 × 6371000     		do = 936.960792705235m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.66245168-1.66283517) × cos(-1.17736563) × R
    0.000383489999999931 × 0.383359254100134 × 6371000     		du = 936.628999500646m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.17721859)-sin(-1.17736563))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.383495055997678-0.383359254100134)×R²
    abs(1.66283517-1.66245168)×0.000135801897543752×R²
    0.000383489999999931×0.000135801897543752×6371000²
    0.000383489999999931×0.000135801897543752×40589641000000     		ar = 877581.816003458m²