Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 12525 / 12743
↖ ↑ ↗
← S 70.192550°
E 95.207520°		 ← 827.91 m → S 70.192550°
E 95.229492°		 →
↑
827.78 m
↓
↑
827.78 m
↓
S 70.199994°
E 95.207520°		 ← 827.61 m →
685 206 m²		 S 70.199994°
E 95.229492°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 12525 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 12743 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.764495849609375 y=0.777801513671875 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.764495849609375 × 214)
    floor (0.764495849609375 × 16384)
    floor (12525.5)     		tx = 12525
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.777801513671875 × 214)
    floor (0.777801513671875 × 16384)
    floor (12743.5)     		ty = 12743
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 12525 / 12743 ti = "14/12525/12743"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/12525/12743.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 12525 ÷ 214
    12525 ÷ 16384     		x = 0.76446533203125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 12743 ÷ 214
    12743 ÷ 16384     		y = 0.77777099609375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.76446533203125 × 2 - 1) × π
    0.5289306640625 × 3.1415926535     		Λ = 1.66168469
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.77777099609375 × 2 - 1) × π
    -0.5555419921875 × 3.1415926535     		Φ = -1.745286641367
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.66168469} λ = 1.66168469}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.745286641367))-π/2
    2×atan(0.174594935662449)-π/2
    2×0.172852611578982-π/2
    0.345705223157964-1.57079632675     		φ = -1.22509110
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.66168469} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 95.207520°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.22509110 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -70.192550°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 12525 KachelY 12743 1.66168469 -1.22509110 95.207520 -70.192550
    Oben rechts KachelX + 1 12526 KachelY 12743 1.66206818 -1.22509110 95.229492 -70.192550
    Unten links KachelX 12525 KachelY + 1 12744 1.66168469 -1.22522103 95.207520 -70.199994
    Unten rechts KachelX + 1 12526 KachelY + 1 12744 1.66206818 -1.22522103 95.229492 -70.199994
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.22509110--1.22522103) × R
    0.000129929999999945 × 6371000     		dl = 827.784029999648m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.22509110--1.22522103) × R
    0.000129929999999945 × 6371000     		dr = 827.784029999648m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.66168469-1.66206818) × cos(-1.22509110) × R
    0.000383489999999931 × 0.338860264717795 × 6371000     		do = 827.908410501683m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.66168469-1.66206818) × cos(-1.22522103) × R
    0.000383489999999931 × 0.3387380189437 × 6371000     		du = 827.6097378184m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.22509110)-sin(-1.22522103))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.338860264717795-0.3387380189437)×R²
    abs(1.66206818-1.66168469)×0.000122245774094754×R²
    0.000383489999999931×0.000122245774094754×6371000²
    0.000383489999999931×0.000122245774094754×40589641000000     		ar = 685205.743241264m²