Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 12525 / 12181
↖ ↑ ↗
← S 65.558460°
E 95.207520°		 ← 1 010.92 m → S 65.558460°
E 95.229492°		 →
↑
1 010.70 m
↓
↑
1 010.70 m
↓
S 65.567549°
E 95.207520°		 ← 1 010.56 m →
1 021 550 m²		 S 65.567549°
E 95.229492°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 12525 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 12181 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.764495849609375 y=0.743499755859375 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.764495849609375 × 214)
    floor (0.764495849609375 × 16384)
    floor (12525.5)     		tx = 12525
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.743499755859375 × 214)
    floor (0.743499755859375 × 16384)
    floor (12181.5)     		ty = 12181
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 12525 / 12181 ti = "14/12525/12181"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/12525/12181.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 12525 ÷ 214
    12525 ÷ 16384     		x = 0.76446533203125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 12181 ÷ 214
    12181 ÷ 16384     		y = 0.74346923828125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.76446533203125 × 2 - 1) × π
    0.5289306640625 × 3.1415926535     		Λ = 1.66168469
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.74346923828125 × 2 - 1) × π
    -0.4869384765625 × 3.1415926535     		Φ = -1.52976234067523
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.66168469} λ = 1.66168469}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.52976234067523))-π/2
    2×atan(0.216587135152153)-π/2
    2×0.213292675538845-π/2
    0.426585351077691-1.57079632675     		φ = -1.14421098
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.66168469} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 95.207520°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.14421098 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -65.558460°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 12525 KachelY 12181 1.66168469 -1.14421098 95.207520 -65.558460
    Oben rechts KachelX + 1 12526 KachelY 12181 1.66206818 -1.14421098 95.229492 -65.558460
    Unten links KachelX 12525 KachelY + 1 12182 1.66168469 -1.14436962 95.207520 -65.567549
    Unten rechts KachelX + 1 12526 KachelY + 1 12182 1.66206818 -1.14436962 95.229492 -65.567549
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.14421098--1.14436962) × R
    0.000158639999999988 × 6371000     		dl = 1010.69543999992m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.14421098--1.14436962) × R
    0.000158639999999988 × 6371000     		dr = 1010.69543999992m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.66168469-1.66206818) × cos(-1.14421098) × R
    0.000383489999999931 × 0.413764575325891 × 6371000     		do = 1010.9157300141m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.66168469-1.66206818) × cos(-1.14436962) × R
    0.000383489999999931 × 0.413620146815381 × 6371000     		du = 1010.56286014113m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.14421098)-sin(-1.14436962))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.413764575325891-0.413620146815381)×R²
    abs(1.66206818-1.66168469)×0.000144428510510053×R²
    0.000383489999999931×0.000144428510510053×6371000²
    0.000383489999999931×0.000144428510510053×40589641000000     		ar = 1021549.59870564m²