Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 12525 / 12175
↖ ↑ ↗
← S 65.503854°
E 95.207520°		 ← 1 013.04 m → S 65.503854°
E 95.229492°		 →
↑
1 012.86 m
↓
↑
1 012.86 m
↓
S 65.512963°
E 95.207520°		 ← 1 012.68 m →
1 025 885 m²		 S 65.512963°
E 95.229492°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 12525 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 12175 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.764495849609375 y=0.743133544921875 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.764495849609375 × 214)
    floor (0.764495849609375 × 16384)
    floor (12525.5)     		tx = 12525
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.743133544921875 × 214)
    floor (0.743133544921875 × 16384)
    floor (12175.5)     		ty = 12175
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 12525 / 12175 ti = "14/12525/12175"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/12525/12175.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 12525 ÷ 214
    12525 ÷ 16384     		x = 0.76446533203125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 12175 ÷ 214
    12175 ÷ 16384     		y = 0.74310302734375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.76446533203125 × 2 - 1) × π
    0.5289306640625 × 3.1415926535     		Λ = 1.66168469
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.74310302734375 × 2 - 1) × π
    -0.4862060546875 × 3.1415926535     		Φ = -1.52746136949347
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.66168469} λ = 1.66168469}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.52746136949347))-π/2
    2×atan(0.21708606970536)-π/2
    2×0.213769204587681-π/2
    0.427538409175361-1.57079632675     		φ = -1.14325792
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.66168469} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 95.207520°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.14325792 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -65.503854°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 12525 KachelY 12175 1.66168469 -1.14325792 95.207520 -65.503854
    Oben rechts KachelX + 1 12526 KachelY 12175 1.66206818 -1.14325792 95.229492 -65.503854
    Unten links KachelX 12525 KachelY + 1 12176 1.66168469 -1.14341690 95.207520 -65.512963
    Unten rechts KachelX + 1 12526 KachelY + 1 12176 1.66206818 -1.14341690 95.229492 -65.512963
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.14325792--1.14341690) × R
    0.000158980000000142 × 6371000     		dl = 1012.8615800009m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.14325792--1.14341690) × R
    0.000158980000000142 × 6371000     		dr = 1012.8615800009m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.66168469-1.66206818) × cos(-1.14325792) × R
    0.000383489999999931 × 0.414632037774409 × 6371000     		do = 1013.03512709809m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.66168469-1.66206818) × cos(-1.14341690) × R
    0.000383489999999931 × 0.414487362458354 × 6371000     		du = 1012.68165422616m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.14325792)-sin(-1.14341690))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.414632037774409-0.414487362458354)×R²
    abs(1.66206818-1.66168469)×0.000144675316054221×R²
    0.000383489999999931×0.000144675316054221×6371000²
    0.000383489999999931×0.000144675316054221×40589641000000     		ar = 1025885.35204411m²