Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 12523 / 12717
↖ ↑ ↗
← S 69.998052°
E 95.163574°		 ← 835.71 m → S 69.998052°
E 95.185547°		 →
↑
835.56 m
↓
↑
835.56 m
↓
S 70.005566°
E 95.163574°		 ← 835.41 m →
698 155 m²		 S 70.005566°
E 95.185547°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 12523 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 12717 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.764373779296875 y=0.776214599609375 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.764373779296875 × 214)
    floor (0.764373779296875 × 16384)
    floor (12523.5)     		tx = 12523
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.776214599609375 × 214)
    floor (0.776214599609375 × 16384)
    floor (12717.5)     		ty = 12717
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 12523 / 12717 ti = "14/12523/12717"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/12523/12717.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 12523 ÷ 214
    12523 ÷ 16384     		x = 0.76434326171875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 12717 ÷ 214
    12717 ÷ 16384     		y = 0.77618408203125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.76434326171875 × 2 - 1) × π
    0.5286865234375 × 3.1415926535     		Λ = 1.66091770
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.77618408203125 × 2 - 1) × π
    -0.5523681640625 × 3.1415926535     		Φ = -1.73531576624603
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.66091770} λ = 1.66091770}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.73531576624603))-π/2
    2×atan(0.176344507850655)-π/2
    2×0.174549923782665-π/2
    0.349099847565331-1.57079632675     		φ = -1.22169648
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.66091770} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 95.163574°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.22169648 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -69.998052°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 12523 KachelY 12717 1.66091770 -1.22169648 95.163574 -69.998052
    Oben rechts KachelX + 1 12524 KachelY 12717 1.66130119 -1.22169648 95.185547 -69.998052
    Unten links KachelX 12523 KachelY + 1 12718 1.66091770 -1.22182763 95.163574 -70.005566
    Unten rechts KachelX + 1 12524 KachelY + 1 12718 1.66130119 -1.22182763 95.185547 -70.005566
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.22169648--1.22182763) × R
    0.000131149999999858 × 6371000     		dl = 835.556649999094m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.22169648--1.22182763) × R
    0.000131149999999858 × 6371000     		dr = 835.556649999094m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.66091770-1.66130119) × cos(-1.22169648) × R
    0.000383490000000153 × 0.3420520892905 × 6371000     		do = 835.706723505284m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.66091770-1.66130119) × cos(-1.22182763) × R
    0.000383490000000153 × 0.341928847186946 × 6371000     		du = 835.405616575129m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.22169648)-sin(-1.22182763))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.3420520892905-0.341928847186946)×R²
    abs(1.66130119-1.66091770)×0.000123242103554189×R²
    0.000383490000000153×0.000123242103554189×6371000²
    0.000383490000000153×0.000123242103554189×40589641000000     		ar = 698154.51532703m²