Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 12523 / 12480
↖ ↑ ↗
← S 68.138852°
E 95.163574°		 ← 909.75 m → S 68.138852°
E 95.185547°		 →
↑
909.59 m
↓
↑
909.59 m
↓
S 68.147032°
E 95.163574°		 ← 909.43 m →
827 352 m²		 S 68.147032°
E 95.185547°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 12523 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 12480 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.764373779296875 y=0.761749267578125 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.764373779296875 × 214)
    floor (0.764373779296875 × 16384)
    floor (12523.5)     		tx = 12523
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.761749267578125 × 214)
    floor (0.761749267578125 × 16384)
    floor (12480.5)     		ty = 12480
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 12523 / 12480 ti = "14/12523/12480"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/12523/12480.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 12523 ÷ 214
    12523 ÷ 16384     		x = 0.76434326171875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 12480 ÷ 214
    12480 ÷ 16384     		y = 0.76171875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.76434326171875 × 2 - 1) × π
    0.5286865234375 × 3.1415926535     		Λ = 1.66091770
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.76171875 × 2 - 1) × π
    -0.5234375 × 3.1415926535     		Φ = -1.64442740456641
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.66091770} λ = 1.66091770}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.64442740456641))-π/2
    2×atan(0.193123112552967)-π/2
    2×0.190774508502458-π/2
    0.381549017004917-1.57079632675     		φ = -1.18924731
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.66091770} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 95.163574°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.18924731 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -68.138852°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 12523 KachelY 12480 1.66091770 -1.18924731 95.163574 -68.138852
    Oben rechts KachelX + 1 12524 KachelY 12480 1.66130119 -1.18924731 95.185547 -68.138852
    Unten links KachelX 12523 KachelY + 1 12481 1.66091770 -1.18939008 95.163574 -68.147032
    Unten rechts KachelX + 1 12524 KachelY + 1 12481 1.66130119 -1.18939008 95.185547 -68.147032
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.18924731--1.18939008) × R
    0.000142769999999848 × 6371000     		dl = 909.58766999903m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.18924731--1.18939008) × R
    0.000142769999999848 × 6371000     		dr = 909.58766999903m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.66091770-1.66130119) × cos(-1.18924731) × R
    0.000383490000000153 × 0.372358540952008 × 6371000     		do = 909.75189443713m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.66091770-1.66130119) × cos(-1.18939008) × R
    0.000383490000000153 × 0.37222603389675 × 6371000     		du = 909.428151239943m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.18924731)-sin(-1.18939008))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.372358540952008-0.37222603389675)×R²
    abs(1.66130119-1.66091770)×0.000132507055258468×R²
    0.000383490000000153×0.000132507055258468×6371000²
    0.000383490000000153×0.000132507055258468×40589641000000     		ar = 827351.870933623m²