Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
14 / 12523 / 12169
↖ ↑ ↗
← S 65.449133°
E 95.163574°		 ← 1 015.16 m → S 65.449133°
E 95.185547°		 →
↑
1 015.03 m
↓
↑
1 015.03 m
↓
S 65.458261°
E 95.163574°		 ← 1 014.80 m →
1 030 234 m²		 S 65.458261°
E 95.185547°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 12523 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 12169 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.764373779296875 y=0.742767333984375 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.764373779296875 × 214)
    floor (0.764373779296875 × 16384)
    floor (12523.5)     		tx = 12523
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.742767333984375 × 214)
    floor (0.742767333984375 × 16384)
    floor (12169.5)     		ty = 12169
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 12523 / 12169 ti = "14/12523/12169"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/12523/12169.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 12523 ÷ 214
    12523 ÷ 16384     		x = 0.76434326171875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 12169 ÷ 214
    12169 ÷ 16384     		y = 0.74273681640625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.76434326171875 × 2 - 1) × π
    0.5286865234375 × 3.1415926535     		Λ = 1.66091770
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.74273681640625 × 2 - 1) × π
    -0.4854736328125 × 3.1415926535     		Φ = -1.52516039831171
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.66091770} λ = 1.66091770}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.52516039831171))-π/2
    2×atan(0.217586153614406)-π/2
    2×0.214246732466186-π/2
    0.428493464932372-1.57079632675     		φ = -1.14230286
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.66091770} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 95.163574°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.14230286 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -65.449133°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 12523 KachelY 12169 1.66091770 -1.14230286 95.163574 -65.449133
    Oben rechts KachelX + 1 12524 KachelY 12169 1.66130119 -1.14230286 95.185547 -65.449133
    Unten links KachelX 12523 KachelY + 1 12170 1.66091770 -1.14246218 95.163574 -65.458261
    Unten rechts KachelX + 1 12524 KachelY + 1 12170 1.66130119 -1.14246218 95.185547 -65.458261
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.14230286--1.14246218) × R
    0.000159320000000074 × 6371000     		dl = 1015.02772000047m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.14230286--1.14246218) × R
    0.000159320000000074 × 6371000     		dr = 1015.02772000047m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.66091770-1.66130119) × cos(-1.14230286) × R
    0.000383490000000153 × 0.415500942789313 × 6371000     		do = 1015.1580486822m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.66091770-1.66130119) × cos(-1.14246218) × R
    0.000383490000000153 × 0.415356021200072 × 6371000     		du = 1014.80397411197m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.14230286)-sin(-1.14246218))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.415500942789313-0.415356021200072)×R²
    abs(1.66130119-1.66091770)×0.000144921589241009×R²
    0.000383490000000153×0.000144921589241009×6371000²
    0.000383490000000153×0.000144921589241009×40589641000000     		ar = 1030233.86402052m²