Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 12522 / 12170
↖ ↑ ↗
← S 65.458261°
E 95.141601°		 ← 1 014.83 m → S 65.458261°
E 95.163574°		 →
↑
1 014.65 m
↓
↑
1 014.65 m
↓
S 65.467386°
E 95.141601°		 ← 1 014.48 m →
1 029 514 m²		 S 65.467386°
E 95.163574°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 12522 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 12170 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.764312744140625 y=0.742828369140625 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.764312744140625 × 214)
    floor (0.764312744140625 × 16384)
    floor (12522.5)     		tx = 12522
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.742828369140625 × 214)
    floor (0.742828369140625 × 16384)
    floor (12170.5)     		ty = 12170
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 12522 / 12170 ti = "14/12522/12170"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/12522/12170.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 12522 ÷ 214
    12522 ÷ 16384     		x = 0.7642822265625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 12170 ÷ 214
    12170 ÷ 16384     		y = 0.7427978515625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.7642822265625 × 2 - 1) × π
    0.528564453125 × 3.1415926535     		Λ = 1.66053420
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.7427978515625 × 2 - 1) × π
    -0.485595703125 × 3.1415926535     		Φ = -1.52554389350867
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.66053420} λ = 1.66053420}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.52554389350867))-π/2
    2×atan(0.217502726367566)-π/2
    2×0.214167075052936-π/2
    0.428334150105872-1.57079632675     		φ = -1.14246218
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.66053420} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 95.141601°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.14246218 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -65.458261°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 12522 KachelY 12170 1.66053420 -1.14246218 95.141601 -65.458261
    Oben rechts KachelX + 1 12523 KachelY 12170 1.66091770 -1.14246218 95.163574 -65.458261
    Unten links KachelX 12522 KachelY + 1 12171 1.66053420 -1.14262144 95.141601 -65.467386
    Unten rechts KachelX + 1 12523 KachelY + 1 12171 1.66091770 -1.14262144 95.163574 -65.467386
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.14246218--1.14262144) × R
    0.000159259999999994 × 6371000     		dl = 1014.64545999996m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.14246218--1.14262144) × R
    0.000159259999999994 × 6371000     		dr = 1014.64545999996m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.66053420-1.66091770) × cos(-1.14246218) × R
    0.00038349999999987 × 0.415356021200072 × 6371000     		do = 1014.83043644334m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.66053420-1.66091770) × cos(-1.14262144) × R
    0.00038349999999987 × 0.415211143651412 × 6371000     		du = 1014.47646024356m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.14246218)-sin(-1.14262144))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.415356021200072-0.415211143651412)×R²
    abs(1.66091770-1.66053420)×0.00014487754866066×R²
    0.00038349999999987×0.00014487754866066×6371000²
    0.00038349999999987×0.00014487754866066×40589641000000     		ar = 1029513.51701055m²