Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
14 / 12520 / 12759
↖ ↑ ↗
← S 70.311337°
E 95.097656°		 ← 823.16 m → S 70.311337°
E 95.119629°		 →
↑
823.01 m
↓
↑
823.01 m
↓
S 70.318738°
E 95.097656°		 ← 822.87 m →
677 345 m²		 S 70.318738°
E 95.119629°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 12520 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 12759 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.764190673828125 y=0.778778076171875 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.764190673828125 × 214)
    floor (0.764190673828125 × 16384)
    floor (12520.5)     		tx = 12520
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.778778076171875 × 214)
    floor (0.778778076171875 × 16384)
    floor (12759.5)     		ty = 12759
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 12520 / 12759 ti = "14/12520/12759"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/12520/12759.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 12520 ÷ 214
    12520 ÷ 16384     		x = 0.76416015625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 12759 ÷ 214
    12759 ÷ 16384     		y = 0.77874755859375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.76416015625 × 2 - 1) × π
    0.5283203125 × 3.1415926535     		Λ = 1.65976721
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.77874755859375 × 2 - 1) × π
    -0.5574951171875 × 3.1415926535     		Φ = -1.75142256451837
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.65976721} λ = 1.65976721}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.75142256451837))-π/2
    2×atan(0.173526914553206)-π/2
    2×0.171815997079359-π/2
    0.343631994158718-1.57079632675     		φ = -1.22716433
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.65976721} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 95.097656°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.22716433 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -70.311337°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 12520 KachelY 12759 1.65976721 -1.22716433 95.097656 -70.311337
    Oben rechts KachelX + 1 12521 KachelY 12759 1.66015071 -1.22716433 95.119629 -70.311337
    Unten links KachelX 12520 KachelY + 1 12760 1.65976721 -1.22729351 95.097656 -70.318738
    Unten rechts KachelX + 1 12521 KachelY + 1 12760 1.66015071 -1.22729351 95.119629 -70.318738
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.22716433--1.22729351) × R
    0.000129180000000062 × 6371000     		dl = 823.005780000395m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.22716433--1.22729351) × R
    0.000129180000000062 × 6371000     		dr = 823.005780000395m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.65976721-1.66015071) × cos(-1.22716433) × R
    0.00038349999999987 × 0.336908966957804 × 6371000     		do = 823.162435424934m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.65976721-1.66015071) × cos(-1.22729351) × R
    0.00038349999999987 × 0.336787336368205 × 6371000     		du = 822.865258020425m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.22716433)-sin(-1.22729351))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.336908966957804-0.336787336368205)×R²
    abs(1.66015071-1.65976721)×0.000121630589598742×R²
    0.00038349999999987×0.000121630589598742×6371000²
    0.00038349999999987×0.000121630589598742×40589641000000     		ar = 677345.153815218m²