Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 12519 / 12711
↖ ↑ ↗
← S 69.952909°
E 95.075684°		 ← 837.52 m → S 69.952909°
E 95.097656°		 →
↑
837.34 m
↓
↑
837.34 m
↓
S 69.960439°
E 95.075684°		 ← 837.21 m →
701 159 m²		 S 69.960439°
E 95.097656°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 12519 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 12711 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.764129638671875 y=0.775848388671875 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.764129638671875 × 214)
    floor (0.764129638671875 × 16384)
    floor (12519.5)     		tx = 12519
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.775848388671875 × 214)
    floor (0.775848388671875 × 16384)
    floor (12711.5)     		ty = 12711
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 12519 / 12711 ti = "14/12519/12711"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/12519/12711.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 12519 ÷ 214
    12519 ÷ 16384     		x = 0.76409912109375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 12711 ÷ 214
    12711 ÷ 16384     		y = 0.77581787109375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.76409912109375 × 2 - 1) × π
    0.5281982421875 × 3.1415926535     		Λ = 1.65938372
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.77581787109375 × 2 - 1) × π
    -0.5516357421875 × 3.1415926535     		Φ = -1.73301479506427
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.65938372} λ = 1.65938372}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.73301479506427))-π/2
    2×atan(0.176750738664748)-π/2
    2×0.174943875486414-π/2
    0.349887750972827-1.57079632675     		φ = -1.22090858
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.65938372} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 95.075684°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.22090858 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -69.952909°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 12519 KachelY 12711 1.65938372 -1.22090858 95.075684 -69.952909
    Oben rechts KachelX + 1 12520 KachelY 12711 1.65976721 -1.22090858 95.097656 -69.952909
    Unten links KachelX 12519 KachelY + 1 12712 1.65938372 -1.22104001 95.075684 -69.960439
    Unten rechts KachelX + 1 12520 KachelY + 1 12712 1.65976721 -1.22104001 95.097656 -69.960439
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.22090858--1.22104001) × R
    0.000131430000000154 × 6371000     		dl = 837.340530000984m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.22090858--1.22104001) × R
    0.000131430000000154 × 6371000     		dr = 837.340530000984m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.65938372-1.65976721) × cos(-1.22090858) × R
    0.000383490000000153 × 0.342792357697479 × 6371000     		do = 837.515358225785m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.65938372-1.65976721) × cos(-1.22104001) × R
    0.000383490000000153 × 0.34266888792337 × 6371000     		du = 837.213695047563m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.22090858)-sin(-1.22104001))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.342792357697479-0.34266888792337)×R²
    abs(1.65976721-1.65938372)×0.000123469774109153×R²
    0.000383490000000153×0.000123469774109153×6371000²
    0.000383490000000153×0.000123469774109153×40589641000000     		ar = 701159.257548195m²