Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 12518 / 14554
↖ ↑ ↗
← N 19.704657°
W 42.473145°		 ← 1 150.10 m → N 19.704657°
W 42.462158°		 →
↑
1 150.09 m
↓
↑
1 150.09 m
↓
N 19.694314°
W 42.473145°		 ← 1 150.18 m →
1 322 769 m²		 N 19.694314°
W 42.462158°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 12518 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 14554 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.382034301757812 y=0.444168090820312 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.382034301757812 × 215)
    floor (0.382034301757812 × 32768)
    floor (12518.5)     		tx = 12518
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.444168090820312 × 215)
    floor (0.444168090820312 × 32768)
    floor (14554.5)     		ty = 14554
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 12518 / 14554 ti = "15/12518/14554"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/12518/14554.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 12518 ÷ 215
    12518 ÷ 32768     		x = 0.38201904296875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 14554 ÷ 215
    14554 ÷ 32768     		y = 0.44415283203125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.38201904296875 × 2 - 1) × π
    -0.2359619140625 × 3.1415926535     		Λ = -0.74129622
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.44415283203125 × 2 - 1) × π
    0.1116943359375 × 3.1415926535     		Φ = 0.350898105218811
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.74129622} λ = -0.74129622}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.350898105218811))-π/2
    2×atan(1.42034259304083)-π/2
    2×0.957353739761691-π/2
    1.91470747952338-1.57079632675     		φ = 0.34391115
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.74129622} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -42.473145°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.34391115 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 19.704657°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 12518 KachelY 14554 -0.74129622 0.34391115 -42.473145 19.704657
    Oben rechts KachelX + 1 12519 KachelY 14554 -0.74110447 0.34391115 -42.462158 19.704657
    Unten links KachelX 12518 KachelY + 1 14555 -0.74129622 0.34373063 -42.473145 19.694314
    Unten rechts KachelX + 1 12519 KachelY + 1 14555 -0.74110447 0.34373063 -42.462158 19.694314
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.34391115-0.34373063) × R
    0.000180520000000017 × 6371000     		dl = 1150.09292000011m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.34391115-0.34373063) × R
    0.000180520000000017 × 6371000     		dr = 1150.09292000011m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.74129622--0.74110447) × cos(0.34391115) × R
    0.000191749999999935 × 0.941443140118968 × 6371000     		do = 1150.10389161219m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.74129622--0.74110447) × cos(0.34373063) × R
    0.000191749999999935 × 0.941503991029994 × 6371000     		du = 1150.1782294735m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.34391115)-sin(0.34373063))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.941443140118968-0.941503991029994)×R²
    abs(-0.74110447--0.74129622)×6.08509110265887e-05×R²
    0.000191749999999935×6.08509110265887e-05×6371000²
    0.000191749999999935×6.08509110265887e-05×40589641000000     		ar = 1322769.09432391m²