Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 12516 / 12723
↖ ↑ ↗
← S 70.043098°
E 95.009766°		 ← 833.92 m → S 70.043098°
E 95.031738°		 →
↑
833.77 m
↓
↑
833.77 m
↓
S 70.050596°
E 95.009766°		 ← 833.62 m →
695 177 m²		 S 70.050596°
E 95.031738°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 12516 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 12723 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.763946533203125 y=0.776580810546875 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.763946533203125 × 214)
    floor (0.763946533203125 × 16384)
    floor (12516.5)     		tx = 12516
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.776580810546875 × 214)
    floor (0.776580810546875 × 16384)
    floor (12723.5)     		ty = 12723
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 12516 / 12723 ti = "14/12516/12723"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/12516/12723.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 12516 ÷ 214
    12516 ÷ 16384     		x = 0.763916015625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 12723 ÷ 214
    12723 ÷ 16384     		y = 0.77655029296875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.763916015625 × 2 - 1) × π
    0.52783203125 × 3.1415926535     		Λ = 1.65823323
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.77655029296875 × 2 - 1) × π
    -0.5531005859375 × 3.1415926535     		Φ = -1.7376167374278
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.65823323} λ = 1.65823323}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.7376167374278))-π/2
    2×atan(0.175939210687394)-π/2
    2×0.174156822952639-π/2
    0.348313645905277-1.57079632675     		φ = -1.22248268
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.65823323} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 95.009766°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.22248268 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -70.043098°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 12516 KachelY 12723 1.65823323 -1.22248268 95.009766 -70.043098
    Oben rechts KachelX + 1 12517 KachelY 12723 1.65861673 -1.22248268 95.031738 -70.043098
    Unten links KachelX 12516 KachelY + 1 12724 1.65823323 -1.22261355 95.009766 -70.050596
    Unten rechts KachelX + 1 12517 KachelY + 1 12724 1.65861673 -1.22261355 95.031738 -70.050596
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.22248268--1.22261355) × R
    0.000130870000000005 × 6371000     		dl = 833.772770000033m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.22248268--1.22261355) × R
    0.000130870000000005 × 6371000     		dr = 833.772770000033m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.65823323-1.65861673) × cos(-1.22248268) × R
    0.000383500000000092 × 0.341313206457098 × 6371000     		do = 833.923219102888m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.65823323-1.65861673) × cos(-1.22261355) × R
    0.000383500000000092 × 0.341190192327367 × 6371000     		du = 833.62266132452m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.22248268)-sin(-1.22261355))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.341313206457098-0.341190192327367)×R²
    abs(1.65861673-1.65823323)×0.000123014129731092×R²
    0.000383500000000092×0.000123014129731092×6371000²
    0.000383500000000092×0.000123014129731092×40589641000000     		ar = 695177.17490595m²