Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 12516 / 12716
↖ ↑ ↗
← S 69.990535°
E 95.009766°		 ← 836.03 m → S 69.990535°
E 95.031738°		 →
↑
835.88 m
↓
↑
835.88 m
↓
S 69.998052°
E 95.009766°		 ← 835.73 m →
698 691 m²		 S 69.998052°
E 95.031738°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 12516 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 12716 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.763946533203125 y=0.776153564453125 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.763946533203125 × 214)
    floor (0.763946533203125 × 16384)
    floor (12516.5)     		tx = 12516
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.776153564453125 × 214)
    floor (0.776153564453125 × 16384)
    floor (12716.5)     		ty = 12716
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 12516 / 12716 ti = "14/12516/12716"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/12516/12716.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 12516 ÷ 214
    12516 ÷ 16384     		x = 0.763916015625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 12716 ÷ 214
    12716 ÷ 16384     		y = 0.776123046875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.763916015625 × 2 - 1) × π
    0.52783203125 × 3.1415926535     		Λ = 1.65823323
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.776123046875 × 2 - 1) × π
    -0.55224609375 × 3.1415926535     		Φ = -1.73493227104907
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.65823323} λ = 1.65823323}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.73493227104907))-π/2
    2×atan(0.17641214809145)-π/2
    2×0.174615523268401-π/2
    0.349231046536803-1.57079632675     		φ = -1.22156528
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.65823323} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 95.009766°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.22156528 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -69.990535°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 12516 KachelY 12716 1.65823323 -1.22156528 95.009766 -69.990535
    Oben rechts KachelX + 1 12517 KachelY 12716 1.65861673 -1.22156528 95.031738 -69.990535
    Unten links KachelX 12516 KachelY + 1 12717 1.65823323 -1.22169648 95.009766 -69.998052
    Unten rechts KachelX + 1 12517 KachelY + 1 12717 1.65861673 -1.22169648 95.031738 -69.998052
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.22156528--1.22169648) × R
    0.000131199999999998 × 6371000     		dl = 835.875199999987m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.22156528--1.22169648) × R
    0.000131199999999998 × 6371000     		dr = 835.875199999987m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.65823323-1.65861673) × cos(-1.22156528) × R
    0.000383500000000092 × 0.342175372492454 × 6371000     		do = 836.029730840505m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.65823323-1.65861673) × cos(-1.22169648) × R
    0.000383500000000092 × 0.3420520892905 × 6371000     		du = 835.72851564376m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.22156528)-sin(-1.22169648))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.342175372492454-0.3420520892905)×R²
    abs(1.65861673-1.65823323)×0.000123283201953872×R²
    0.000383500000000092×0.000123283201953872×6371000²
    0.000383500000000092×0.000123283201953872×40589641000000     		ar = 698690.630317819m²