Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 12515 / 12726
↖ ↑ ↗
← S 70.065584°
E 94.987793°		 ← 833 m → S 70.065584°
E 95.009766°		 →
↑
832.88 m
↓
↑
832.88 m
↓
S 70.073075°
E 94.987793°		 ← 832.70 m →
693 665 m²		 S 70.073075°
E 95.009766°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 12515 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 12726 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.763885498046875 y=0.776763916015625 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.763885498046875 × 214)
    floor (0.763885498046875 × 16384)
    floor (12515.5)     		tx = 12515
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.776763916015625 × 214)
    floor (0.776763916015625 × 16384)
    floor (12726.5)     		ty = 12726
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 12515 / 12726 ti = "14/12515/12726"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/12515/12726.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 12515 ÷ 214
    12515 ÷ 16384     		x = 0.76385498046875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 12726 ÷ 214
    12726 ÷ 16384     		y = 0.7767333984375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.76385498046875 × 2 - 1) × π
    0.5277099609375 × 3.1415926535     		Λ = 1.65784974
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.7767333984375 × 2 - 1) × π
    -0.553466796875 × 3.1415926535     		Φ = -1.73876722301868
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.65784974} λ = 1.65784974}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.73876722301868))-π/2
    2×atan(0.17573691155406)-π/2
    2×0.173960591116688-π/2
    0.347921182233375-1.57079632675     		φ = -1.22287514
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.65784974} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 94.987793°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.22287514 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -70.065584°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 12515 KachelY 12726 1.65784974 -1.22287514 94.987793 -70.065584
    Oben rechts KachelX + 1 12516 KachelY 12726 1.65823323 -1.22287514 95.009766 -70.065584
    Unten links KachelX 12515 KachelY + 1 12727 1.65784974 -1.22300587 94.987793 -70.073075
    Unten rechts KachelX + 1 12516 KachelY + 1 12727 1.65823323 -1.22300587 95.009766 -70.073075
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.22287514--1.22300587) × R
    0.000130729999999968 × 6371000     		dl = 832.880829999795m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.22287514--1.22300587) × R
    0.000130729999999968 × 6371000     		dr = 832.880829999795m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.65784974-1.65823323) × cos(-1.22287514) × R
    0.000383489999999931 × 0.340944287551892 × 6371000     		do = 833.000125912644m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.65784974-1.65823323) × cos(-1.22300587) × R
    0.000383489999999931 × 0.340821387522457 × 6371000     		du = 832.699854743038m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.22287514)-sin(-1.22300587))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.340944287551892-0.340821387522457)×R²
    abs(1.65823323-1.65784974)×0.000122900029434769×R²
    0.000383489999999931×0.000122900029434769×6371000²
    0.000383489999999931×0.000122900029434769×40589641000000     		ar = 693664.792196846m²