Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 12514 / 14558
↖ ↑ ↗
← N 19.663280°
W 42.517090°		 ← 1 150.40 m → N 19.663280°
W 42.506104°		 →
↑
1 150.41 m
↓
↑
1 150.41 m
↓
N 19.652934°
W 42.517090°		 ← 1 150.48 m →
1 323 477 m²		 N 19.652934°
W 42.506104°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 12514 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 14558 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.381912231445312 y=0.444290161132812 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.381912231445312 × 215)
    floor (0.381912231445312 × 32768)
    floor (12514.5)     		tx = 12514
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.444290161132812 × 215)
    floor (0.444290161132812 × 32768)
    floor (14558.5)     		ty = 14558
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 12514 / 14558 ti = "15/12514/14558"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/12514/14558.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 12514 ÷ 215
    12514 ÷ 32768     		x = 0.38189697265625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 14558 ÷ 215
    14558 ÷ 32768     		y = 0.44427490234375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.38189697265625 × 2 - 1) × π
    -0.2362060546875 × 3.1415926535     		Λ = -0.74206321
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.44427490234375 × 2 - 1) × π
    0.1114501953125 × 3.1415926535     		Φ = 0.35013111482489
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.74206321} λ = -0.74206321}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.35013111482489))-π/2
    2×atan(1.4192536215846)-π/2
    2×0.956992654183266-π/2
    1.91398530836653-1.57079632675     		φ = 0.34318898
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.74206321} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -42.517090°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.34318898 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 19.663280°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 12514 KachelY 14558 -0.74206321 0.34318898 -42.517090 19.663280
    Oben rechts KachelX + 1 12515 KachelY 14558 -0.74187146 0.34318898 -42.506104 19.663280
    Unten links KachelX 12514 KachelY + 1 14559 -0.74206321 0.34300841 -42.517090 19.652934
    Unten rechts KachelX + 1 12515 KachelY + 1 14559 -0.74187146 0.34300841 -42.506104 19.652934
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.34318898-0.34300841) × R
    0.000180569999999991 × 6371000     		dl = 1150.41146999994m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.34318898-0.34300841) × R
    0.000180569999999991 × 6371000     		dr = 1150.41146999994m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.74206321--0.74187146) × cos(0.34318898) × R
    0.000191749999999935 × 0.941686389952014 × 6371000     		do = 1150.4010551558m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.74206321--0.74187146) × cos(0.34300841) × R
    0.000191749999999935 × 0.941747134927009 × 6371000     		du = 1150.47526360149m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.34318898)-sin(0.34300841))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.941686389952014-0.941747134927009)×R²
    abs(-0.74187146--0.74206321)×6.07449749950861e-05×R²
    0.000191749999999935×6.07449749950861e-05×6371000²
    0.000191749999999935×6.07449749950861e-05×40589641000000     		ar = 1323477.25767091m²