Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 12513 / 14561
↖ ↑ ↗
← N 19.632240°
W 42.528076°		 ← 1 150.56 m → N 19.632240°
W 42.517090°		 →
↑
1 150.67 m
↓
↑
1 150.67 m
↓
N 19.621892°
W 42.528076°		 ← 1 150.64 m →
1 323 957 m²		 N 19.621892°
W 42.517090°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 12513 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 14561 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.381881713867188 y=0.444381713867188 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.381881713867188 × 215)
    floor (0.381881713867188 × 32768)
    floor (12513.5)     		tx = 12513
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.444381713867188 × 215)
    floor (0.444381713867188 × 32768)
    floor (14561.5)     		ty = 14561
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 12513 / 14561 ti = "15/12513/14561"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/12513/14561.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 12513 ÷ 215
    12513 ÷ 32768     		x = 0.381866455078125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 14561 ÷ 215
    14561 ÷ 32768     		y = 0.444366455078125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.381866455078125 × 2 - 1) × π
    -0.23626708984375 × 3.1415926535     		Λ = -0.74225495
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.444366455078125 × 2 - 1) × π
    0.11126708984375 × 3.1415926535     		Φ = 0.349555872029449
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.74225495} λ = -0.74225495}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.349555872029449))-π/2
    2×atan(1.4184374409374)-π/2
    2×0.956721778825894-π/2
    1.91344355765179-1.57079632675     		φ = 0.34264723
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.74225495} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -42.528076°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.34264723 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 19.632240°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 12513 KachelY 14561 -0.74225495 0.34264723 -42.528076 19.632240
    Oben rechts KachelX + 1 12514 KachelY 14561 -0.74206321 0.34264723 -42.517090 19.632240
    Unten links KachelX 12513 KachelY + 1 14562 -0.74225495 0.34246662 -42.528076 19.621892
    Unten rechts KachelX + 1 12514 KachelY + 1 14562 -0.74206321 0.34246662 -42.517090 19.621892
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.34264723-0.34246662) × R
    0.000180610000000025 × 6371000     		dl = 1150.66631000016m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.34264723-0.34246662) × R
    0.000180610000000025 × 6371000     		dr = 1150.66631000016m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.74225495--0.74206321) × cos(0.34264723) × R
    0.000191739999999996 × 0.941868546195806 × 6371000     		do = 1150.56357792813m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.74225495--0.74206321) × cos(0.34246662) × R
    0.000191739999999996 × 0.941929212472042 × 6371000     		du = 1150.63768636728m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.34264723)-sin(0.34246662))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.941868546195806-0.941929212472042)×R²
    abs(-0.74206321--0.74225495)×6.066627623591e-05×R²
    0.000191739999999996×6.066627623591e-05×6371000²
    0.000191739999999996×6.066627623591e-05×40589641000000     		ar = 1323957.38727648m²