Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 12513 / 12719
↖ ↑ ↗
← S 70.013079°
E 94.943848°		 ← 835.10 m → S 70.013079°
E 94.965820°		 →
↑
834.92 m
↓
↑
834.92 m
↓
S 70.020587°
E 94.943848°		 ← 834.80 m →
697 120 m²		 S 70.020587°
E 94.965820°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 12513 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 12719 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.763763427734375 y=0.776336669921875 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.763763427734375 × 214)
    floor (0.763763427734375 × 16384)
    floor (12513.5)     		tx = 12513
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.776336669921875 × 214)
    floor (0.776336669921875 × 16384)
    floor (12719.5)     		ty = 12719
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 12513 / 12719 ti = "14/12513/12719"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/12513/12719.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 12513 ÷ 214
    12513 ÷ 16384     		x = 0.76373291015625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 12719 ÷ 214
    12719 ÷ 16384     		y = 0.77630615234375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.76373291015625 × 2 - 1) × π
    0.5274658203125 × 3.1415926535     		Λ = 1.65708275
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.77630615234375 × 2 - 1) × π
    -0.5526123046875 × 3.1415926535     		Φ = -1.73608275663995
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.65708275} λ = 1.65708275}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.73608275663995))-π/2
    2×atan(0.176209305163322)-π/2
    2×0.17441879570994-π/2
    0.348837591419879-1.57079632675     		φ = -1.22195874
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.65708275} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 94.943848°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.22195874 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -70.013079°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 12513 KachelY 12719 1.65708275 -1.22195874 94.943848 -70.013079
    Oben rechts KachelX + 1 12514 KachelY 12719 1.65746624 -1.22195874 94.965820 -70.013079
    Unten links KachelX 12513 KachelY + 1 12720 1.65708275 -1.22208979 94.943848 -70.020587
    Unten rechts KachelX + 1 12514 KachelY + 1 12720 1.65746624 -1.22208979 94.965820 -70.020587
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.22195874--1.22208979) × R
    0.000131050000000021 × 6371000     		dl = 834.919550000136m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.22195874--1.22208979) × R
    0.000131050000000021 × 6371000     		dr = 834.919550000136m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.65708275-1.65746624) × cos(-1.22195874) × R
    0.000383489999999931 × 0.341805636792932 × 6371000     		do = 835.104587117709m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.65708275-1.65746624) × cos(-1.22208979) × R
    0.000383489999999931 × 0.341682476912264 × 6371000     		du = 834.803681075728m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.22195874)-sin(-1.22208979))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.341805636792932-0.341682476912264)×R²
    abs(1.65746624-1.65708275)×0.000123159880667578×R²
    0.000383489999999931×0.000123159880667578×6371000²
    0.000383489999999931×0.000123159880667578×40589641000000     		ar = 697119.530909123m²