Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
14 / 12513 / 12718
↖ ↑ ↗
← S 70.005566°
E 94.943848°		 ← 835.41 m → S 70.005566°
E 94.965820°		 →
↑
835.30 m
↓
↑
835.30 m
↓
S 70.013079°
E 94.943848°		 ← 835.10 m →
697 690 m²		 S 70.013079°
E 94.965820°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 12513 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 12718 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.763763427734375 y=0.776275634765625 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.763763427734375 × 214)
    floor (0.763763427734375 × 16384)
    floor (12513.5)     		tx = 12513
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.776275634765625 × 214)
    floor (0.776275634765625 × 16384)
    floor (12718.5)     		ty = 12718
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 12513 / 12718 ti = "14/12513/12718"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/12513/12718.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 12513 ÷ 214
    12513 ÷ 16384     		x = 0.76373291015625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 12718 ÷ 214
    12718 ÷ 16384     		y = 0.7762451171875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.76373291015625 × 2 - 1) × π
    0.5274658203125 × 3.1415926535     		Λ = 1.65708275
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.7762451171875 × 2 - 1) × π
    -0.552490234375 × 3.1415926535     		Φ = -1.73569926144299
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.65708275} λ = 1.65708275}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.73569926144299))-π/2
    2×atan(0.176276893544593)-π/2
    2×0.174484347932308-π/2
    0.348968695864615-1.57079632675     		φ = -1.22182763
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.65708275} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 94.943848°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.22182763 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -70.005566°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 12513 KachelY 12718 1.65708275 -1.22182763 94.943848 -70.005566
    Oben rechts KachelX + 1 12514 KachelY 12718 1.65746624 -1.22182763 94.965820 -70.005566
    Unten links KachelX 12513 KachelY + 1 12719 1.65708275 -1.22195874 94.943848 -70.013079
    Unten rechts KachelX + 1 12514 KachelY + 1 12719 1.65746624 -1.22195874 94.965820 -70.013079
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.22182763--1.22195874) × R
    0.000131110000000101 × 6371000     		dl = 835.301810000643m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.22182763--1.22195874) × R
    0.000131110000000101 × 6371000     		dr = 835.301810000643m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.65708275-1.65746624) × cos(-1.22182763) × R
    0.000383489999999931 × 0.341928847186946 × 6371000     		do = 835.405616574646m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.65708275-1.65746624) × cos(-1.22195874) × R
    0.000383489999999931 × 0.341805636792932 × 6371000     		du = 835.104587117709m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.22182763)-sin(-1.22195874))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.341928847186946-0.341805636792932)×R²
    abs(1.65746624-1.65708275)×0.000123210394013862×R²
    0.000383489999999931×0.000123210394013862×6371000²
    0.000383489999999931×0.000123210394013862×40589641000000     		ar = 697690.099382626m²