Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 12512 / 14551
↖ ↑ ↗
← N 19.735684°
W 42.539062°		 ← 1 149.88 m → N 19.735684°
W 42.528076°		 →
↑
1 149.90 m
↓
↑
1 149.90 m
↓
N 19.725342°
W 42.539062°		 ← 1 149.96 m →
1 322 293 m²		 N 19.725342°
W 42.528076°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 12512 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 14551 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.381851196289062 y=0.444076538085938 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.381851196289062 × 215)
    floor (0.381851196289062 × 32768)
    floor (12512.5)     		tx = 12512
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.444076538085938 × 215)
    floor (0.444076538085938 × 32768)
    floor (14551.5)     		ty = 14551
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 12512 / 14551 ti = "15/12512/14551"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/12512/14551.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 12512 ÷ 215
    12512 ÷ 32768     		x = 0.3818359375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 14551 ÷ 215
    14551 ÷ 32768     		y = 0.444061279296875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.3818359375 × 2 - 1) × π
    -0.236328125 × 3.1415926535     		Λ = -0.74244670
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.444061279296875 × 2 - 1) × π
    0.11187744140625 × 3.1415926535     		Φ = 0.351473348014252
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.74244670} λ = -0.74244670}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.351473348014252))-π/2
    2×atan(1.42115986992832)-π/2
    2×0.957624492682151-π/2
    1.9152489853643-1.57079632675     		φ = 0.34445266
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.74244670} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -42.539062°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.34445266 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 19.735684°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 12512 KachelY 14551 -0.74244670 0.34445266 -42.539062 19.735684
    Oben rechts KachelX + 1 12513 KachelY 14551 -0.74225495 0.34445266 -42.528076 19.735684
    Unten links KachelX 12512 KachelY + 1 14552 -0.74244670 0.34427217 -42.539062 19.725342
    Unten rechts KachelX + 1 12513 KachelY + 1 14552 -0.74225495 0.34427217 -42.528076 19.725342
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.34445266-0.34427217) × R
    0.000180490000000033 × 6371000     		dl = 1149.90179000021m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.34445266-0.34427217) × R
    0.000180490000000033 × 6371000     		dr = 1149.90179000021m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.74244670--0.74225495) × cos(0.34445266) × R
    0.000191750000000046 × 0.941260420202401 × 6371000     		do = 1149.88067379102m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.74244670--0.74225495) × cos(0.34427217) × R
    0.000191750000000046 × 0.94132135301138 × 6371000     		du = 1149.95511170208m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.34445266)-sin(0.34427217))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.941260420202401-0.94132135301138)×R²
    abs(-0.74225495--0.74244670)×6.09328089797856e-05×R²
    0.000191750000000046×6.09328089797856e-05×6371000²
    0.000191750000000046×6.09328089797856e-05×40589641000000     		ar = 1322292.64681203m²