Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 12512 / 12064
↖ ↑ ↗
← S 64.472794°
E 94.921875°		 ← 1 052.91 m → S 64.472794°
E 94.943848°		 →
↑
1 052.68 m
↓
↑
1 052.68 m
↓
S 64.482261°
E 94.921875°		 ← 1 052.54 m →
1 108 181 m²		 S 64.482261°
E 94.943848°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 12512 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 12064 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.763702392578125 y=0.736358642578125 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.763702392578125 × 214)
    floor (0.763702392578125 × 16384)
    floor (12512.5)     		tx = 12512
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.736358642578125 × 214)
    floor (0.736358642578125 × 16384)
    floor (12064.5)     		ty = 12064
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 12512 / 12064 ti = "14/12512/12064"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/12512/12064.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 12512 ÷ 214
    12512 ÷ 16384     		x = 0.763671875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 12064 ÷ 214
    12064 ÷ 16384     		y = 0.736328125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.763671875 × 2 - 1) × π
    0.52734375 × 3.1415926535     		Λ = 1.65669925
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.736328125 × 2 - 1) × π
    -0.47265625 × 3.1415926535     		Φ = -1.48489340263086
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.65669925} λ = 1.65669925}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.48489340263086))-π/2
    2×atan(0.226526486517008)-π/2
    2×0.222766898346654-π/2
    0.445533796693309-1.57079632675     		φ = -1.12526253
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.65669925} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 94.921875°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.12526253 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -64.472794°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 12512 KachelY 12064 1.65669925 -1.12526253 94.921875 -64.472794
    Oben rechts KachelX + 1 12513 KachelY 12064 1.65708275 -1.12526253 94.943848 -64.472794
    Unten links KachelX 12512 KachelY + 1 12065 1.65669925 -1.12542776 94.921875 -64.482261
    Unten rechts KachelX + 1 12513 KachelY + 1 12065 1.65708275 -1.12542776 94.943848 -64.482261
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.12526253--1.12542776) × R
    0.000165229999999905 × 6371000     		dl = 1052.6803299994m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.12526253--1.12542776) × R
    0.000165229999999905 × 6371000     		dr = 1052.6803299994m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.65669925-1.65708275) × cos(-1.12526253) × R
    0.000383500000000092 × 0.430939629631134 × 6371000     		do = 1052.90553187597m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.65669925-1.65708275) × cos(-1.12542776) × R
    0.000383500000000092 × 0.430790523376344 × 6371000     		du = 1052.54122376942m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.12526253)-sin(-1.12542776))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.430939629631134-0.430790523376344)×R²
    abs(1.65708275-1.65669925)×0.000149106254790476×R²
    0.000383500000000092×0.000149106254790476×6371000²
    0.000383500000000092×0.000149106254790476×40589641000000     		ar = 1108181.19528565m²