Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 12510 / 14562
↖ ↑ ↗
← N 19.621892°
W 42.561035°		 ← 1 150.70 m → N 19.621892°
W 42.550049°		 →
↑
1 150.67 m
↓
↑
1 150.67 m
↓
N 19.611544°
W 42.561035°		 ← 1 150.77 m →
1 324 112 m²		 N 19.611544°
W 42.550049°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 12510 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 14562 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.381790161132812 y=0.444412231445312 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.381790161132812 × 215)
    floor (0.381790161132812 × 32768)
    floor (12510.5)     		tx = 12510
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.444412231445312 × 215)
    floor (0.444412231445312 × 32768)
    floor (14562.5)     		ty = 14562
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 12510 / 14562 ti = "15/12510/14562"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/12510/14562.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 12510 ÷ 215
    12510 ÷ 32768     		x = 0.38177490234375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 14562 ÷ 215
    14562 ÷ 32768     		y = 0.44439697265625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.38177490234375 × 2 - 1) × π
    -0.2364501953125 × 3.1415926535     		Λ = -0.74283020
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.44439697265625 × 2 - 1) × π
    0.1112060546875 × 3.1415926535     		Φ = 0.349364124430969
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.74283020} λ = -0.74283020}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.349364124430969))-π/2
    2×atan(1.41816548503879)-π/2
    2×0.956631475401696-π/2
    1.91326295080339-1.57079632675     		φ = 0.34246662
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.74283020} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -42.561035°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.34246662 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 19.621892°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 12510 KachelY 14562 -0.74283020 0.34246662 -42.561035 19.621892
    Oben rechts KachelX + 1 12511 KachelY 14562 -0.74263845 0.34246662 -42.550049 19.621892
    Unten links KachelX 12510 KachelY + 1 14563 -0.74283020 0.34228601 -42.561035 19.611544
    Unten rechts KachelX + 1 12511 KachelY + 1 14563 -0.74263845 0.34228601 -42.550049 19.611544
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.34246662-0.34228601) × R
    0.000180610000000025 × 6371000     		dl = 1150.66631000016m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.34246662-0.34228601) × R
    0.000180610000000025 × 6371000     		dr = 1150.66631000016m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.74283020--0.74263845) × cos(0.34246662) × R
    0.000191750000000046 × 0.941929212472042 × 6371000     		do = 1150.69769667771m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.74283020--0.74263845) × cos(0.34228601) × R
    0.000191750000000046 × 0.941989848022573 × 6371000     		du = 1150.77177144619m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.34246662)-sin(0.34228601))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.941929212472042-0.941989848022573)×R²
    abs(-0.74263845--0.74283020)×6.06355505312628e-05×R²
    0.000191750000000046×6.06355505312628e-05×6371000²
    0.000191750000000046×6.06355505312628e-05×40589641000000     		ar = 1324111.6938315m²