Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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11 / 1251 / 1284
↖ ↑ ↗
← S 41.508577°
E 39.902344°		 ← 14.637 km → S 41.508577°
E 40.078125°		 →
↑
14.622 km
↓
↑
14.622 km
↓
S 41.640078°
E 39.902344°		 ← 14.607 km →
213.811 km²		 S 41.640078°
E 40.078125°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 11 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 1251 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1284 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.611083984375 y=0.627197265625 und der Vergrößerungsstufe zoom=11 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.611083984375 × 211)
    floor (0.611083984375 × 2048)
    floor (1251.5)     		tx = 1251
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.627197265625 × 211)
    floor (0.627197265625 × 2048)
    floor (1284.5)     		ty = 1284
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 11 / 1251 / 1284 ti = "11/1251/1284"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/11/1251/1284.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 1251 ÷ 211
    1251 ÷ 2048     		x = 0.61083984375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1284 ÷ 211
    1284 ÷ 2048     		y = 0.626953125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.61083984375 × 2 - 1) × π
    0.2216796875 × 3.1415926535     		Λ = 0.69642728
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.626953125 × 2 - 1) × π
    -0.25390625 × 3.1415926535     		Φ = -0.797670009677734
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.69642728} λ = 0.69642728}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.797670009677734))-π/2
    2×atan(0.450377116873829)-π/2
    2×0.423167492576542-π/2
    0.846334985153084-1.57079632675     		φ = -0.72446134
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.69642728} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 39.902344°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.72446134 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -41.508577°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 1251 KachelY 1284 0.69642728 -0.72446134 39.902344 -41.508577
    Oben rechts KachelX + 1 1252 KachelY 1284 0.69949524 -0.72446134 40.078125 -41.508577
    Unten links KachelX 1251 KachelY + 1 1285 0.69642728 -0.72675647 39.902344 -41.640078
    Unten rechts KachelX + 1 1252 KachelY + 1 1285 0.69949524 -0.72675647 40.078125 -41.640078
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.72446134--0.72675647) × R
    0.00229513000000003 × 6371000     		dl = 14622.2732300002m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.72446134--0.72675647) × R
    0.00229513000000003 × 6371000     		dr = 14622.2732300002m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.69642728-0.69949524) × cos(-0.72446134) × R
    0.00306795999999998 × 0.748856517896165 × 6371000     		do = 14637.1293994894m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.69642728-0.69949524) × cos(-0.72675647) × R
    0.00306795999999998 × 0.747333490424122 × 6371000     		du = 14607.3603453989m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.72446134)-sin(-0.72675647))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.748856517896165-0.747333490424122)×R²
    abs(0.69949524-0.69642728)×0.00152302747204314×R²
    0.00306795999999998×0.00152302747204314×6371000²
    0.00306795999999998×0.00152302747204314×40589641000000     		ar = 213810553.616948m²