Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
14 / 12507 / 12733
↖ ↑ ↗
← S 70.117958°
E 94.812011°		 ← 830.92 m → S 70.117958°
E 94.833984°		 →
↑
830.78 m
↓
↑
830.78 m
↓
S 70.125430°
E 94.812011°		 ← 830.62 m →
690 188 m²		 S 70.125430°
E 94.833984°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 12507 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 12733 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.763397216796875 y=0.777191162109375 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.763397216796875 × 214)
    floor (0.763397216796875 × 16384)
    floor (12507.5)     		tx = 12507
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.777191162109375 × 214)
    floor (0.777191162109375 × 16384)
    floor (12733.5)     		ty = 12733
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 12507 / 12733 ti = "14/12507/12733"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/12507/12733.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 12507 ÷ 214
    12507 ÷ 16384     		x = 0.76336669921875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 12733 ÷ 214
    12733 ÷ 16384     		y = 0.77716064453125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.76336669921875 × 2 - 1) × π
    0.5267333984375 × 3.1415926535     		Λ = 1.65478177
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.77716064453125 × 2 - 1) × π
    -0.5543212890625 × 3.1415926535     		Φ = -1.7414516893974
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.65478177} λ = 1.65478177}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.7414516893974))-π/2
    2×atan(0.175265784368963)-π/2
    2×0.173503541400793-π/2
    0.347007082801585-1.57079632675     		φ = -1.22378924
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.65478177} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 94.812011°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.22378924 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -70.117958°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 12507 KachelY 12733 1.65478177 -1.22378924 94.812011 -70.117958
    Oben rechts KachelX + 1 12508 KachelY 12733 1.65516527 -1.22378924 94.833984 -70.117958
    Unten links KachelX 12507 KachelY + 1 12734 1.65478177 -1.22391964 94.812011 -70.125430
    Unten rechts KachelX + 1 12508 KachelY + 1 12734 1.65516527 -1.22391964 94.833984 -70.125430
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.22378924--1.22391964) × R
    0.000130400000000197 × 6371000     		dl = 830.778400001255m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.22378924--1.22391964) × R
    0.000130400000000197 × 6371000     		dr = 830.778400001255m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.65478177-1.65516527) × cos(-1.22378924) × R
    0.00038349999999987 × 0.340084814898487 × 6371000     		do = 830.921916417672m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.65478177-1.65516527) × cos(-1.22391964) × R
    0.00038349999999987 × 0.339962184529729 × 6371000     		du = 830.622296274238m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.22378924)-sin(-1.22391964))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.340084814898487-0.339962184529729)×R²
    abs(1.65516527-1.65478177)×0.00012263036875837×R²
    0.00038349999999987×0.00012263036875837×6371000²
    0.00038349999999987×0.00012263036875837×40589641000000     		ar = 690187.522253219m²