Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 12507 / 12571
↖ ↑ ↗
← S 68.871439°
E 94.812011°		 ← 880.71 m → S 68.871439°
E 94.833984°		 →
↑
880.54 m
↓
↑
880.54 m
↓
S 68.879358°
E 94.812011°		 ← 880.39 m →
775 357 m²		 S 68.879358°
E 94.833984°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 12507 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 12571 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.763397216796875 y=0.767303466796875 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.763397216796875 × 214)
    floor (0.763397216796875 × 16384)
    floor (12507.5)     		tx = 12507
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.767303466796875 × 214)
    floor (0.767303466796875 × 16384)
    floor (12571.5)     		ty = 12571
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 12507 / 12571 ti = "14/12507/12571"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/12507/12571.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 12507 ÷ 214
    12507 ÷ 16384     		x = 0.76336669921875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 12571 ÷ 214
    12571 ÷ 16384     		y = 0.76727294921875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.76336669921875 × 2 - 1) × π
    0.5267333984375 × 3.1415926535     		Λ = 1.65478177
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.76727294921875 × 2 - 1) × π
    -0.5345458984375 × 3.1415926535     		Φ = -1.67932546748981
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.65478177} λ = 1.65478177}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.67932546748981))-π/2
    2×atan(0.186499733754368)-π/2
    2×0.184381480252099-π/2
    0.368762960504198-1.57079632675     		φ = -1.20203337
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.65478177} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 94.812011°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.20203337 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -68.871439°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 12507 KachelY 12571 1.65478177 -1.20203337 94.812011 -68.871439
    Oben rechts KachelX + 1 12508 KachelY 12571 1.65516527 -1.20203337 94.833984 -68.871439
    Unten links KachelX 12507 KachelY + 1 12572 1.65478177 -1.20217158 94.812011 -68.879358
    Unten rechts KachelX + 1 12508 KachelY + 1 12572 1.65516527 -1.20217158 94.833984 -68.879358
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.20203337--1.20217158) × R
    0.000138209999999805 × 6371000     		dl = 880.53590999876m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.20203337--1.20217158) × R
    0.000138209999999805 × 6371000     		dr = 880.53590999876m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.65478177-1.65516527) × cos(-1.20203337) × R
    0.00038349999999987 × 0.360461826365646 × 6371000     		do = 880.708630429619m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.65478177-1.65516527) × cos(-1.20217158) × R
    0.00038349999999987 × 0.360332904233438 × 6371000     		du = 880.39363775582m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.20203337)-sin(-1.20217158))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.360461826365646-0.360332904233438)×R²
    abs(1.65516527-1.65478177)×0.00012892213220822×R²
    0.00038349999999987×0.00012892213220822×6371000²
    0.00038349999999987×0.00012892213220822×40589641000000     		ar = 775356.895392603m²