Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
14 / 12506 / 12737
↖ ↑ ↗
← S 70.147827°
E 94.790039°		 ← 829.70 m → S 70.147827°
E 94.812011°		 →
↑
829.57 m
↓
↑
829.57 m
↓
S 70.155288°
E 94.790039°		 ← 829.40 m →
688 170 m²		 S 70.155288°
E 94.812011°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 12506 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 12737 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.763336181640625 y=0.777435302734375 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.763336181640625 × 214)
    floor (0.763336181640625 × 16384)
    floor (12506.5)     		tx = 12506
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.777435302734375 × 214)
    floor (0.777435302734375 × 16384)
    floor (12737.5)     		ty = 12737
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 12506 / 12737 ti = "14/12506/12737"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/12506/12737.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 12506 ÷ 214
    12506 ÷ 16384     		x = 0.7633056640625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 12737 ÷ 214
    12737 ÷ 16384     		y = 0.77740478515625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.7633056640625 × 2 - 1) × π
    0.526611328125 × 3.1415926535     		Λ = 1.65439828
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.77740478515625 × 2 - 1) × π
    -0.5548095703125 × 3.1415926535     		Φ = -1.74298567018524
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.65439828} λ = 1.65439828}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.74298567018524))-π/2
    2×atan(0.174997136126276)-π/2
    2×0.173242887677236-π/2
    0.346485775354472-1.57079632675     		φ = -1.22431055
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.65439828} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 94.790039°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.22431055 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -70.147827°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 12506 KachelY 12737 1.65439828 -1.22431055 94.790039 -70.147827
    Oben rechts KachelX + 1 12507 KachelY 12737 1.65478177 -1.22431055 94.812011 -70.147827
    Unten links KachelX 12506 KachelY + 1 12738 1.65439828 -1.22444076 94.790039 -70.155288
    Unten rechts KachelX + 1 12507 KachelY + 1 12738 1.65478177 -1.22444076 94.812011 -70.155288
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.22431055--1.22444076) × R
    0.000130210000000019 × 6371000     		dl = 829.567910000124m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.22431055--1.22444076) × R
    0.000130210000000019 × 6371000     		dr = 829.567910000124m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.65439828-1.65478177) × cos(-1.22431055) × R
    0.000383489999999931 × 0.339594531513041 × 6371000     		do = 829.702381995634m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.65439828-1.65478177) × cos(-1.22444076) × R
    0.000383489999999931 × 0.339472056763622 × 6371000     		du = 829.403149876452m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.22431055)-sin(-1.22444076))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.339594531513041-0.339472056763622)×R²
    abs(1.65478177-1.65439828)×0.000122474749418844×R²
    0.000383489999999931×0.000122474749418844×6371000²
    0.000383489999999931×0.000122474749418844×40589641000000     		ar = 688170.355243406m²