Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 12505 / 12477
↖ ↑ ↗
← S 68.114294°
E 94.768066°		 ← 910.75 m → S 68.114294°
E 94.790039°		 →
↑
910.54 m
↓
↑
910.54 m
↓
S 68.122482°
E 94.768066°		 ← 910.42 m →
829 127 m²		 S 68.122482°
E 94.790039°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 12505 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 12477 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.763275146484375 y=0.761566162109375 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.763275146484375 × 214)
    floor (0.763275146484375 × 16384)
    floor (12505.5)     		tx = 12505
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.761566162109375 × 214)
    floor (0.761566162109375 × 16384)
    floor (12477.5)     		ty = 12477
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 12505 / 12477 ti = "14/12505/12477"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/12505/12477.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 12505 ÷ 214
    12505 ÷ 16384     		x = 0.76324462890625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 12477 ÷ 214
    12477 ÷ 16384     		y = 0.76153564453125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.76324462890625 × 2 - 1) × π
    0.5264892578125 × 3.1415926535     		Λ = 1.65401478
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.76153564453125 × 2 - 1) × π
    -0.5230712890625 × 3.1415926535     		Φ = -1.64327691897552
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.65401478} λ = 1.65401478}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.64327691897552))-π/2
    2×atan(0.193345425770781)-π/2
    2×0.190988819459237-π/2
    0.381977638918473-1.57079632675     		φ = -1.18881869
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.65401478} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 94.768066°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.18881869 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -68.114294°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 12505 KachelY 12477 1.65401478 -1.18881869 94.768066 -68.114294
    Oben rechts KachelX + 1 12506 KachelY 12477 1.65439828 -1.18881869 94.790039 -68.114294
    Unten links KachelX 12505 KachelY + 1 12478 1.65401478 -1.18896161 94.768066 -68.122482
    Unten rechts KachelX + 1 12506 KachelY + 1 12478 1.65439828 -1.18896161 94.790039 -68.122482
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.18881869--1.18896161) × R
    0.000142920000000046 × 6371000     		dl = 910.543320000295m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.18881869--1.18896161) × R
    0.000142920000000046 × 6371000     		dr = 910.543320000295m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.65401478-1.65439828) × cos(-1.18881869) × R
    0.000383500000000092 × 0.37275630422576 × 6371000     		do = 910.747463854476m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.65401478-1.65439828) × cos(-1.18896161) × R
    0.000383500000000092 × 0.372623680767378 × 6371000     		du = 910.423427810018m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.18881869)-sin(-1.18896161))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.37275630422576-0.372623680767378)×R²
    abs(1.65439828-1.65401478)×0.000132623458381054×R²
    0.000383500000000092×0.000132623458381054×6371000²
    0.000383500000000092×0.000132623458381054×40589641000000     		ar = 829127.496403334m²