Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 12504 / 17736
↖ ↑ ↗
← N 63.371832°
W111.313477°		 ← 273.78 m → N 63.371832°
W111.307983°		 →
↑
273.83 m
↓
↑
273.83 m
↓
N 63.369370°
W111.313477°		 ← 273.81 m →
74 972 m²		 N 63.369370°
W111.307983°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 12504 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 17736 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.190803527832031 y=0.270637512207031 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.190803527832031 × 216)
    floor (0.190803527832031 × 65536)
    floor (12504.5)     		tx = 12504
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.270637512207031 × 216)
    floor (0.270637512207031 × 65536)
    floor (17736.5)     		ty = 17736
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 12504 / 17736 ti = "16/12504/17736"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/12504/17736.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 12504 ÷ 216
    12504 ÷ 65536     		x = 0.1907958984375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 17736 ÷ 216
    17736 ÷ 65536     		y = 0.2706298828125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.1907958984375 × 2 - 1) × π
    -0.618408203125 × 3.1415926535     		Λ = -1.94278667
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.2706298828125 × 2 - 1) × π
    0.458740234375 × 3.1415926535     		Φ = 1.44117495017737
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.94278667} λ = -1.94278667}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.44117495017737))-π/2
    2×atan(4.2256578387887)-π/2
    2×1.33842172642678-π/2
    2.67684345285355-1.57079632675     		φ = 1.10604713
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.94278667} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -111.313477°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.10604713 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 63.371832°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 12504 KachelY 17736 -1.94278667 1.10604713 -111.313477 63.371832
    Oben rechts KachelX + 1 12505 KachelY 17736 -1.94269079 1.10604713 -111.307983 63.371832
    Unten links KachelX 12504 KachelY + 1 17737 -1.94278667 1.10600415 -111.313477 63.369370
    Unten rechts KachelX + 1 12505 KachelY + 1 17737 -1.94269079 1.10600415 -111.307983 63.369370
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.10604713-1.10600415) × R
    4.29800000001368e-05 × 6371000     		dl = 273.825580000872m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.10604713-1.10600415) × R
    4.29800000001368e-05 × 6371000     		dr = 273.825580000872m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.94278667--1.94269079) × cos(1.10604713) × R
    9.58800000001592e-05 × 0.448198614031139 × 6371000     		do = 273.782786715324m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.94278667--1.94269079) × cos(1.10600415) × R
    9.58800000001592e-05 × 0.448237034900618 × 6371000     		du = 273.806256160308m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.10604713)-sin(1.10600415))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.448198614031139-0.448237034900618)×R²
    abs(-1.94269079--1.94278667)×3.84208694788613e-05×R²
    9.58800000001592e-05×3.84208694788613e-05×6371000²
    9.58800000001592e-05×3.84208694788613e-05×40589641000000     		ar = 74971.9436451942m²