Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 12501 / 12451
↖ ↑ ↗
← S 67.900354°
E 94.680176°		 ← 919.21 m → S 67.900354°
E 94.702149°		 →
↑
919.08 m
↓
↑
919.08 m
↓
S 67.908619°
E 94.680176°		 ← 918.88 m →
844 675 m²		 S 67.908619°
E 94.702149°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 12501 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 12451 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.763031005859375 y=0.759979248046875 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.763031005859375 × 214)
    floor (0.763031005859375 × 16384)
    floor (12501.5)     		tx = 12501
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.759979248046875 × 214)
    floor (0.759979248046875 × 16384)
    floor (12451.5)     		ty = 12451
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 12501 / 12451 ti = "14/12501/12451"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/12501/12451.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 12501 ÷ 214
    12501 ÷ 16384     		x = 0.76300048828125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 12451 ÷ 214
    12451 ÷ 16384     		y = 0.75994873046875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.76300048828125 × 2 - 1) × π
    0.5260009765625 × 3.1415926535     		Λ = 1.65248080
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.75994873046875 × 2 - 1) × π
    -0.5198974609375 × 3.1415926535     		Φ = -1.63330604385455
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.65248080} λ = 1.65248080}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.63330604385455))-π/2
    2×atan(0.195282891931307)-π/2
    2×0.192855791986382-π/2
    0.385711583972765-1.57079632675     		φ = -1.18508474
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.65248080} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 94.680176°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.18508474 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -67.900354°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 12501 KachelY 12451 1.65248080 -1.18508474 94.680176 -67.900354
    Oben rechts KachelX + 1 12502 KachelY 12451 1.65286430 -1.18508474 94.702149 -67.900354
    Unten links KachelX 12501 KachelY + 1 12452 1.65248080 -1.18522900 94.680176 -67.908619
    Unten rechts KachelX + 1 12502 KachelY + 1 12452 1.65286430 -1.18522900 94.702149 -67.908619
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.18508474--1.18522900) × R
    0.000144260000000118 × 6371000     		dl = 919.080460000753m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.18508474--1.18522900) × R
    0.000144260000000118 × 6371000     		dr = 919.080460000753m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.65248080-1.65286430) × cos(-1.18508474) × R
    0.000383500000000092 × 0.376218539134802 × 6371000     		do = 919.206667969692m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.65248080-1.65286430) × cos(-1.18522900) × R
    0.000383500000000092 × 0.376084873864947 × 6371000     		du = 918.880086489657m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.18508474)-sin(-1.18522900))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.376218539134802-0.376084873864947)×R²
    abs(1.65286430-1.65248080)×0.000133665269855476×R²
    0.000383500000000092×0.000133665269855476×6371000²
    0.000383500000000092×0.000133665269855476×40589641000000     		ar = 844674.81136993m²