Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 12500 / 14489
↖ ↑ ↗
← N 20.375527°
W 42.670898°		 ← 1 145.20 m → N 20.375527°
W 42.659912°		 →
↑
1 145.25 m
↓
↑
1 145.25 m
↓
N 20.365227°
W 42.670898°		 ← 1 145.28 m →
1 311 588 m²		 N 20.365227°
W 42.659912°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 12500 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 14489 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.381484985351562 y=0.442184448242188 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.381484985351562 × 215)
    floor (0.381484985351562 × 32768)
    floor (12500.5)     		tx = 12500
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.442184448242188 × 215)
    floor (0.442184448242188 × 32768)
    floor (14489.5)     		ty = 14489
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 12500 / 14489 ti = "15/12500/14489"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/12500/14489.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 12500 ÷ 215
    12500 ÷ 32768     		x = 0.3814697265625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 14489 ÷ 215
    14489 ÷ 32768     		y = 0.442169189453125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.3814697265625 × 2 - 1) × π
    -0.237060546875 × 3.1415926535     		Λ = -0.74474767
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.442169189453125 × 2 - 1) × π
    0.11566162109375 × 3.1415926535     		Φ = 0.363361699120026
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.74474767} λ = -0.74474767}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.363361699120026))-π/2
    2×atan(1.43815594491801)-π/2
    2×0.963208178166658-π/2
    1.92641635633332-1.57079632675     		φ = 0.35562003
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.74474767} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -42.670898°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.35562003 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 20.375527°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 12500 KachelY 14489 -0.74474767 0.35562003 -42.670898 20.375527
    Oben rechts KachelX + 1 12501 KachelY 14489 -0.74455592 0.35562003 -42.659912 20.375527
    Unten links KachelX 12500 KachelY + 1 14490 -0.74474767 0.35544027 -42.670898 20.365227
    Unten rechts KachelX + 1 12501 KachelY + 1 14490 -0.74455592 0.35544027 -42.659912 20.365227
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.35562003-0.35544027) × R
    0.000179759999999973 × 6371000     		dl = 1145.25095999983m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.35562003-0.35544027) × R
    0.000179759999999973 × 6371000     		dr = 1145.25095999983m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.74474767--0.74455592) × cos(0.35562003) × R
    0.000191749999999935 × 0.937430792145911 × 6371000     		do = 1145.20224984365m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.74474767--0.74455592) × cos(0.35544027) × R
    0.000191749999999935 × 0.937493364338586 × 6371000     		du = 1145.27869049018m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.35562003)-sin(0.35544027))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.937430792145911-0.937493364338586)×R²
    abs(-0.74455592--0.74474767)×6.25721926748035e-05×R²
    0.000191749999999935×6.25721926748035e-05×6371000²
    0.000191749999999935×6.25721926748035e-05×40589641000000     		ar = 1311587.75142134m²