Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 12500 / 12720
↖ ↑ ↗
← S 70.020587°
E 94.658203°		 ← 834.80 m → S 70.020587°
E 94.680176°		 →
↑
834.66 m
↓
↑
834.66 m
↓
S 70.028093°
E 94.658203°		 ← 834.50 m →
696 656 m²		 S 70.028093°
E 94.680176°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 12500 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 12720 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.762969970703125 y=0.776397705078125 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.762969970703125 × 214)
    floor (0.762969970703125 × 16384)
    floor (12500.5)     		tx = 12500
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.776397705078125 × 214)
    floor (0.776397705078125 × 16384)
    floor (12720.5)     		ty = 12720
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 12500 / 12720 ti = "14/12500/12720"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/12500/12720.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 12500 ÷ 214
    12500 ÷ 16384     		x = 0.762939453125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 12720 ÷ 214
    12720 ÷ 16384     		y = 0.7763671875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.762939453125 × 2 - 1) × π
    0.52587890625 × 3.1415926535     		Λ = 1.65209731
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.7763671875 × 2 - 1) × π
    -0.552734375 × 3.1415926535     		Φ = -1.73646625183691
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.65209731} λ = 1.65209731}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.73646625183691))-π/2
    2×atan(0.1761417426969)-π/2
    2×0.174353267108175-π/2
    0.348706534216349-1.57079632675     		φ = -1.22208979
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.65209731} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 94.658203°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.22208979 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -70.020587°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 12500 KachelY 12720 1.65209731 -1.22208979 94.658203 -70.020587
    Oben rechts KachelX + 1 12501 KachelY 12720 1.65248080 -1.22208979 94.680176 -70.020587
    Unten links KachelX 12500 KachelY + 1 12721 1.65209731 -1.22222080 94.658203 -70.028093
    Unten rechts KachelX + 1 12501 KachelY + 1 12721 1.65248080 -1.22222080 94.680176 -70.028093
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.22208979--1.22222080) × R
    0.000131010000000042 × 6371000     		dl = 834.664710000271m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.22208979--1.22222080) × R
    0.000131010000000042 × 6371000     		dr = 834.664710000271m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.65209731-1.65248080) × cos(-1.22208979) × R
    0.000383489999999931 × 0.341682476912264 × 6371000     		do = 834.803681075728m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.65209731-1.65248080) × cos(-1.22222080) × R
    0.000383489999999931 × 0.341559348757916 × 6371000     		du = 834.502852547957m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.22208979)-sin(-1.22222080))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.341682476912264-0.341559348757916)×R²
    abs(1.65248080-1.65209731)×0.000123128154348839×R²
    0.000383489999999931×0.000123128154348839×6371000²
    0.000383489999999931×0.000123128154348839×40589641000000     		ar = 696655.627889835m²