Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 12500 / 12437
↖ ↑ ↗
← S 67.784335°
E 94.658203°		 ← 923.76 m → S 67.784335°
E 94.680176°		 →
↑
923.60 m
↓
↑
923.60 m
↓
S 67.792641°
E 94.658203°		 ← 923.44 m →
853 041 m²		 S 67.792641°
E 94.680176°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 12500 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 12437 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.762969970703125 y=0.759124755859375 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.762969970703125 × 214)
    floor (0.762969970703125 × 16384)
    floor (12500.5)     		tx = 12500
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.759124755859375 × 214)
    floor (0.759124755859375 × 16384)
    floor (12437.5)     		ty = 12437
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 12500 / 12437 ti = "14/12500/12437"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/12500/12437.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 12500 ÷ 214
    12500 ÷ 16384     		x = 0.762939453125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 12437 ÷ 214
    12437 ÷ 16384     		y = 0.75909423828125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.762939453125 × 2 - 1) × π
    0.52587890625 × 3.1415926535     		Λ = 1.65209731
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.75909423828125 × 2 - 1) × π
    -0.5181884765625 × 3.1415926535     		Φ = -1.62793711109711
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.65209731} λ = 1.65209731}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.62793711109711))-π/2
    2×atan(0.196334172248131)-π/2
    2×0.193868253457464-π/2
    0.387736506914928-1.57079632675     		φ = -1.18305982
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.65209731} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 94.658203°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.18305982 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -67.784335°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 12500 KachelY 12437 1.65209731 -1.18305982 94.658203 -67.784335
    Oben rechts KachelX + 1 12501 KachelY 12437 1.65248080 -1.18305982 94.680176 -67.784335
    Unten links KachelX 12500 KachelY + 1 12438 1.65209731 -1.18320479 94.658203 -67.792641
    Unten rechts KachelX + 1 12501 KachelY + 1 12438 1.65248080 -1.18320479 94.680176 -67.792641
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.18305982--1.18320479) × R
    0.000144970000000022 × 6371000     		dl = 923.60387000014m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.18305982--1.18320479) × R
    0.000144970000000022 × 6371000     		dr = 923.60387000014m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.65209731-1.65248080) × cos(-1.18305982) × R
    0.000383489999999931 × 0.378093917609967 × 6371000     		do = 923.764651513546m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.65209731-1.65248080) × cos(-1.18320479) × R
    0.000383489999999931 × 0.377959705160053 × 6371000     		du = 923.436741670915m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.18305982)-sin(-1.18320479))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.378093917609967-0.377959705160053)×R²
    abs(1.65248080-1.65209731)×0.000134212449913629×R²
    0.000383489999999931×0.000134212449913629×6371000²
    0.000383489999999931×0.000134212449913629×40589641000000     		ar = 853041.179201143m²