Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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11 / 1250 / 1307
↖ ↑ ↗
← S 44.465151°
E 39.726563°		 ← 13.950 km → S 44.465151°
E 39.902344°		 →
↑
13.935 km
↓
↑
13.935 km
↓
S 44.590467°
E 39.726563°		 ← 13.920 km →
194.171 km²		 S 44.590467°
E 39.902344°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 11 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 1250 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1307 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.610595703125 y=0.638427734375 und der Vergrößerungsstufe zoom=11 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.610595703125 × 211)
    floor (0.610595703125 × 2048)
    floor (1250.5)     		tx = 1250
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.638427734375 × 211)
    floor (0.638427734375 × 2048)
    floor (1307.5)     		ty = 1307
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 11 / 1250 / 1307 ti = "11/1250/1307"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/11/1250/1307.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 1250 ÷ 211
    1250 ÷ 2048     		x = 0.6103515625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1307 ÷ 211
    1307 ÷ 2048     		y = 0.63818359375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.6103515625 × 2 - 1) × π
    0.220703125 × 3.1415926535     		Λ = 0.69335932
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.63818359375 × 2 - 1) × π
    -0.2763671875 × 3.1415926535     		Φ = -0.868233125918457
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.69335932} λ = 0.69335932}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.868233125918457))-π/2
    2×atan(0.419692438217441)-π/2
    2×0.397366519615098-π/2
    0.794733039230196-1.57079632675     		φ = -0.77606329
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.69335932} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 39.726563°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.77606329 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -44.465151°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 1250 KachelY 1307 0.69335932 -0.77606329 39.726563 -44.465151
    Oben rechts KachelX + 1 1251 KachelY 1307 0.69642728 -0.77606329 39.902344 -44.465151
    Unten links KachelX 1250 KachelY + 1 1308 0.69335932 -0.77825047 39.726563 -44.590467
    Unten rechts KachelX + 1 1251 KachelY + 1 1308 0.69642728 -0.77825047 39.902344 -44.590467
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.77606329--0.77825047) × R
    0.00218718000000007 × 6371000     		dl = 13934.5237800004m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.77606329--0.77825047) × R
    0.00218718000000007 × 6371000     		dr = 13934.5237800004m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.69335932-0.69642728) × cos(-0.77606329) × R
    0.00306795999999998 × 0.713676629233332 × 6371000     		do = 13949.5042399139m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.69335932-0.69642728) × cos(-0.77825047) × R
    0.00306795999999998 × 0.712142857825438 × 6371000     		du = 13919.5251851416m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.77606329)-sin(-0.77825047))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.713676629233332-0.712142857825438)×R²
    abs(0.69642728-0.69335932)×0.0015337714078939×R²
    0.00306795999999998×0.0015337714078939×6371000²
    0.00306795999999998×0.0015337714078939×40589641000000     		ar = 194170904.030015m²