Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 12496 / 14576
↖ ↑ ↗
← N 19.476950°
W 42.714844°		 ← 1 151.67 m → N 19.476950°
W 42.703858°		 →
↑
1 151.75 m
↓
↑
1 151.75 m
↓
N 19.466592°
W 42.714844°		 ← 1 151.75 m →
1 326 480 m²		 N 19.466592°
W 42.703858°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 12496 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 14576 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.381362915039062 y=0.444839477539062 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.381362915039062 × 215)
    floor (0.381362915039062 × 32768)
    floor (12496.5)     		tx = 12496
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.444839477539062 × 215)
    floor (0.444839477539062 × 32768)
    floor (14576.5)     		ty = 14576
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 12496 / 14576 ti = "15/12496/14576"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/12496/14576.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 12496 ÷ 215
    12496 ÷ 32768     		x = 0.38134765625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 14576 ÷ 215
    14576 ÷ 32768     		y = 0.44482421875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.38134765625 × 2 - 1) × π
    -0.2373046875 × 3.1415926535     		Λ = -0.74551466
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.44482421875 × 2 - 1) × π
    0.1103515625 × 3.1415926535     		Φ = 0.346679658052246
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.74551466} λ = -0.74551466}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.346679658052246))-π/2
    2×atan(1.41436357281067)-π/2
    2×0.955366618067884-π/2
    1.91073323613577-1.57079632675     		φ = 0.33993691
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.74551466} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -42.714844°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.33993691 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 19.476950°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 12496 KachelY 14576 -0.74551466 0.33993691 -42.714844 19.476950
    Oben rechts KachelX + 1 12497 KachelY 14576 -0.74532292 0.33993691 -42.703858 19.476950
    Unten links KachelX 12496 KachelY + 1 14577 -0.74551466 0.33975613 -42.714844 19.466592
    Unten rechts KachelX + 1 12497 KachelY + 1 14577 -0.74532292 0.33975613 -42.703858 19.466592
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.33993691-0.33975613) × R
    0.000180779999999992 × 6371000     		dl = 1151.74937999995m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.33993691-0.33975613) × R
    0.000180779999999992 × 6371000     		dr = 1151.74937999995m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.74551466--0.74532292) × cos(0.33993691) × R
    0.000191739999999996 × 0.94277570335273 × 6371000     		do = 1151.67173892197m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.74551466--0.74532292) × cos(0.33975613) × R
    0.000191739999999996 × 0.942835964990676 × 6371000     		du = 1151.74535306488m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.33993691)-sin(0.33975613))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.94277570335273-0.942835964990676)×R²
    abs(-0.74532292--0.74551466)×6.02616379463683e-05×R²
    0.000191739999999996×6.02616379463683e-05×6371000²
    0.000191739999999996×6.02616379463683e-05×40589641000000     		ar = 1326479.60740085m²