Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 12496 / 14480
↖ ↑ ↗
← N 20.468189°
W 42.714844°		 ← 1 144.45 m → N 20.468189°
W 42.703858°		 →
↑
1 144.49 m
↓
↑
1 144.49 m
↓
N 20.457896°
W 42.714844°		 ← 1 144.53 m →
1 309 855 m²		 N 20.457896°
W 42.703858°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 12496 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 14480 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.381362915039062 y=0.441909790039062 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.381362915039062 × 215)
    floor (0.381362915039062 × 32768)
    floor (12496.5)     		tx = 12496
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.441909790039062 × 215)
    floor (0.441909790039062 × 32768)
    floor (14480.5)     		ty = 14480
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 12496 / 14480 ti = "15/12496/14480"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/12496/14480.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 12496 ÷ 215
    12496 ÷ 32768     		x = 0.38134765625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 14480 ÷ 215
    14480 ÷ 32768     		y = 0.44189453125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.38134765625 × 2 - 1) × π
    -0.2373046875 × 3.1415926535     		Λ = -0.74551466
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.44189453125 × 2 - 1) × π
    0.1162109375 × 3.1415926535     		Φ = 0.365087427506348
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.74551466} λ = -0.74551466}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.365087427506348))-π/2
    2×atan(1.4406399542023)-π/2
    2×0.964016810320712-π/2
    1.92803362064142-1.57079632675     		φ = 0.35723729
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.74551466} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -42.714844°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.35723729 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 20.468189°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 12496 KachelY 14480 -0.74551466 0.35723729 -42.714844 20.468189
    Oben rechts KachelX + 1 12497 KachelY 14480 -0.74532292 0.35723729 -42.703858 20.468189
    Unten links KachelX 12496 KachelY + 1 14481 -0.74551466 0.35705765 -42.714844 20.457896
    Unten rechts KachelX + 1 12497 KachelY + 1 14481 -0.74532292 0.35705765 -42.703858 20.457896
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.35723729-0.35705765) × R
    0.000179639999999981 × 6371000     		dl = 1144.48643999988m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.35723729-0.35705765) × R
    0.000179639999999981 × 6371000     		dr = 1144.48643999988m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.74551466--0.74532292) × cos(0.35723729) × R
    0.000191739999999996 × 0.936866482341783 × 6371000     		do = 1144.45317907454m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.74551466--0.74532292) × cos(0.35705765) × R
    0.000191739999999996 × 0.936929285047957 × 6371000     		du = 1144.52989732425m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.35723729)-sin(0.35705765))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.936866482341783-0.936929285047957)×R²
    abs(-0.74532292--0.74551466)×6.2802706173537e-05×R²
    0.000191739999999996×6.2802706173537e-05×6371000²
    0.000191739999999996×6.2802706173537e-05×40589641000000     		ar = 1309855.04968654m²