Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
14 / 12494 / 12446
↖ ↑ ↗
← S 67.858985°
E 94.526367°		 ← 920.82 m → S 67.858985°
E 94.548340°		 →
↑
920.67 m
↓
↑
920.67 m
↓
S 67.867265°
E 94.526367°		 ← 920.49 m →
847 621 m²		 S 67.867265°
E 94.548340°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 12494 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 12446 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.762603759765625 y=0.759674072265625 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.762603759765625 × 214)
    floor (0.762603759765625 × 16384)
    floor (12494.5)     		tx = 12494
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.759674072265625 × 214)
    floor (0.759674072265625 × 16384)
    floor (12446.5)     		ty = 12446
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 12494 / 12446 ti = "14/12494/12446"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/12494/12446.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 12494 ÷ 214
    12494 ÷ 16384     		x = 0.7625732421875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 12446 ÷ 214
    12446 ÷ 16384     		y = 0.7596435546875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.7625732421875 × 2 - 1) × π
    0.525146484375 × 3.1415926535     		Λ = 1.64979634
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.7596435546875 × 2 - 1) × π
    -0.519287109375 × 3.1415926535     		Φ = -1.63138856786975
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.64979634} λ = 1.64979634}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.63138856786975))-π/2
    2×atan(0.195657701416082)-π/2
    2×0.193216807554791-π/2
    0.386433615109582-1.57079632675     		φ = -1.18436271
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.64979634} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 94.526367°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.18436271 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -67.858985°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 12494 KachelY 12446 1.64979634 -1.18436271 94.526367 -67.858985
    Oben rechts KachelX + 1 12495 KachelY 12446 1.65017983 -1.18436271 94.548340 -67.858985
    Unten links KachelX 12494 KachelY + 1 12447 1.64979634 -1.18450722 94.526367 -67.867265
    Unten rechts KachelX + 1 12495 KachelY + 1 12447 1.65017983 -1.18450722 94.548340 -67.867265
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.18436271--1.18450722) × R
    0.000144509999999931 × 6371000     		dl = 920.673209999561m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.18436271--1.18450722) × R
    0.000144509999999931 × 6371000     		dr = 920.673209999561m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.64979634-1.65017983) × cos(-1.18436271) × R
    0.000383489999999931 × 0.37688742415571 × 6371000     		do = 920.816928862067m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.64979634-1.65017983) × cos(-1.18450722) × R
    0.000383489999999931 × 0.376753566522303 × 6371000     		du = 920.489885912373m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.18436271)-sin(-1.18450722))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.37688742415571-0.376753566522303)×R²
    abs(1.65017983-1.64979634)×0.000133857633407175×R²
    0.000383489999999931×0.000133857633407175×6371000²
    0.000383489999999931×0.000133857633407175×40589641000000     		ar = 847620.929351072m²