Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
15 / 12493 / 20977
↖ ↑ ↗
← S 44.972571°
W 42.747803°		 ← 864.24 m → S 44.972571°
W 42.736817°		 →
↑
864.16 m
↓
↑
864.16 m
↓
S 44.980342°
W 42.747803°		 ← 864.13 m →
746 796 m²		 S 44.980342°
W 42.736817°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 12493 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 20977 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.381271362304688 y=0.640182495117188 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.381271362304688 × 215)
    floor (0.381271362304688 × 32768)
    floor (12493.5)     		tx = 12493
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.640182495117188 × 215)
    floor (0.640182495117188 × 32768)
    floor (20977.5)     		ty = 20977
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 12493 / 20977 ti = "15/12493/20977"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/12493/20977.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 12493 ÷ 215
    12493 ÷ 32768     		x = 0.381256103515625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 20977 ÷ 215
    20977 ÷ 32768     		y = 0.640167236328125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.381256103515625 × 2 - 1) × π
    -0.23748779296875 × 3.1415926535     		Λ = -0.74608991
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.640167236328125 × 2 - 1) × π
    -0.28033447265625 × 3.1415926535     		Φ = -0.880696719819672
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.74608991} λ = -0.74608991}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.880696719819672))-π/2
    2×atan(0.414494024854427)-π/2
    2×0.392938447660866-π/2
    0.785876895321733-1.57079632675     		φ = -0.78491943
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.74608991} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -42.747803°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.78491943 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -44.972571°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 12493 KachelY 20977 -0.74608991 -0.78491943 -42.747803 -44.972571
    Oben rechts KachelX + 1 12494 KachelY 20977 -0.74589816 -0.78491943 -42.736817 -44.972571
    Unten links KachelX 12493 KachelY + 1 20978 -0.74608991 -0.78505507 -42.747803 -44.980342
    Unten rechts KachelX + 1 12494 KachelY + 1 20978 -0.74589816 -0.78505507 -42.736817 -44.980342
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.78491943--0.78505507) × R
    0.000135639999999992 × 6371000     		dl = 864.162439999952m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.78491943--0.78505507) × R
    0.000135639999999992 × 6371000     		dr = 864.162439999952m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.74608991--0.74589816) × cos(-0.78491943) × R
    0.000191750000000046 × 0.707445215775966 × 6371000     		do = 864.242842816846m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.74608991--0.74589816) × cos(-0.78505507) × R
    0.000191750000000046 × 0.707349343231846 × 6371000     		du = 864.125721153953m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.78491943)-sin(-0.78505507))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.707445215775966-0.707349343231846)×R²
    abs(-0.74589816--0.74608991)×9.58725441194686e-05×R²
    0.000191750000000046×9.58725441194686e-05×6371000²
    0.000191750000000046×9.58725441194686e-05×40589641000000     		ar = 746795.598874289m²