Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 12493 / 14524
↖ ↑ ↗
← N 20.014645°
W 42.747803°		 ← 1 147.86 m → N 20.014645°
W 42.736817°		 →
↑
1 147.86 m
↓
↑
1 147.86 m
↓
N 20.004322°
W 42.747803°		 ← 1 147.93 m →
1 317 628 m²		 N 20.004322°
W 42.736817°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 12493 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 14524 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.381271362304688 y=0.443252563476562 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.381271362304688 × 215)
    floor (0.381271362304688 × 32768)
    floor (12493.5)     		tx = 12493
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.443252563476562 × 215)
    floor (0.443252563476562 × 32768)
    floor (14524.5)     		ty = 14524
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 12493 / 14524 ti = "15/12493/14524"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/12493/14524.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 12493 ÷ 215
    12493 ÷ 32768     		x = 0.381256103515625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 14524 ÷ 215
    14524 ÷ 32768     		y = 0.4432373046875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.381256103515625 × 2 - 1) × π
    -0.23748779296875 × 3.1415926535     		Λ = -0.74608991
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.4432373046875 × 2 - 1) × π
    0.113525390625 × 3.1415926535     		Φ = 0.356650533173218
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.74608991} λ = -0.74608991}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.356650533173218))-π/2
    2×atan(1.42853655647489)-π/2
    2×0.960058894212906-π/2
    1.92011778842581-1.57079632675     		φ = 0.34932146
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.74608991} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -42.747803°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.34932146 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 20.014645°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 12493 KachelY 14524 -0.74608991 0.34932146 -42.747803 20.014645
    Oben rechts KachelX + 1 12494 KachelY 14524 -0.74589816 0.34932146 -42.736817 20.014645
    Unten links KachelX 12493 KachelY + 1 14525 -0.74608991 0.34914129 -42.747803 20.004322
    Unten rechts KachelX + 1 12494 KachelY + 1 14525 -0.74589816 0.34914129 -42.736817 20.004322
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.34932146-0.34914129) × R
    0.00018016999999998 × 6371000     		dl = 1147.86306999987m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.34932146-0.34914129) × R
    0.00018016999999998 × 6371000     		dr = 1147.86306999987m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.74608991--0.74589816) × cos(0.34932146) × R
    0.000191750000000046 × 0.939605166456441 × 6371000     		do = 1147.85855084625m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.74608991--0.74589816) × cos(0.34914129) × R
    0.000191750000000046 × 0.939666816248783 × 6371000     		du = 1147.93386465233m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.34932146)-sin(0.34914129))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.939605166456441-0.939666816248783)×R²
    abs(-0.74589816--0.74608991)×6.16497923419113e-05×R²
    0.000191750000000046×6.16497923419113e-05×6371000²
    0.000191750000000046×6.16497923419113e-05×40589641000000     		ar = 1317627.66863266m²