Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 12491 / 12463
↖ ↑ ↗
← S 67.999341°
E 94.460449°		 ← 915.29 m → S 67.999341°
E 94.482422°		 →
↑
915.13 m
↓
↑
915.13 m
↓
S 68.007571°
E 94.460449°		 ← 914.97 m →
837 465 m²		 S 68.007571°
E 94.482422°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 12491 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 12463 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.762420654296875 y=0.760711669921875 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.762420654296875 × 214)
    floor (0.762420654296875 × 16384)
    floor (12491.5)     		tx = 12491
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.760711669921875 × 214)
    floor (0.760711669921875 × 16384)
    floor (12463.5)     		ty = 12463
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 12491 / 12463 ti = "14/12491/12463"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/12491/12463.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 12491 ÷ 214
    12491 ÷ 16384     		x = 0.76239013671875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 12463 ÷ 214
    12463 ÷ 16384     		y = 0.76068115234375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.76239013671875 × 2 - 1) × π
    0.5247802734375 × 3.1415926535     		Λ = 1.64864585
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.76068115234375 × 2 - 1) × π
    -0.5213623046875 × 3.1415926535     		Φ = -1.63790798621808
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.64864585} λ = 1.64864585}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.63790798621808))-π/2
    2×atan(0.194386275987871)-π/2
    2×0.191991967321589-π/2
    0.383983934643177-1.57079632675     		φ = -1.18681239
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.64864585} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 94.460449°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.18681239 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -67.999341°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 12491 KachelY 12463 1.64864585 -1.18681239 94.460449 -67.999341
    Oben rechts KachelX + 1 12492 KachelY 12463 1.64902935 -1.18681239 94.482422 -67.999341
    Unten links KachelX 12491 KachelY + 1 12464 1.64864585 -1.18695603 94.460449 -68.007571
    Unten rechts KachelX + 1 12492 KachelY + 1 12464 1.64902935 -1.18695603 94.482422 -68.007571
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.18681239--1.18695603) × R
    0.000143639999999889 × 6371000     		dl = 915.130439999295m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.18681239--1.18695603) × R
    0.000143639999999889 × 6371000     		dr = 915.130439999295m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.64864585-1.64902935) × cos(-1.18681239) × R
    0.00038349999999987 × 0.374617257262857 × 6371000     		do = 915.294290398998m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.64864585-1.64902935) × cos(-1.18695603) × R
    0.00038349999999987 × 0.374484073328689 × 6371000     		du = 914.9688849561m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.18681239)-sin(-1.18695603))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.374617257262857-0.374484073328689)×R²
    abs(1.64902935-1.64864585)×0.000133183934168279×R²
    0.00038349999999987×0.000133183934168279×6371000²
    0.00038349999999987×0.000133183934168279×40589641000000     		ar = 837464.773928933m²