Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 12490 / 12466
↖ ↑ ↗
← S 68.024022°
E 94.438477°		 ← 914.29 m → S 68.024022°
E 94.460449°		 →
↑
914.17 m
↓
↑
914.17 m
↓
S 68.032243°
E 94.438477°		 ← 913.97 m →
835 676 m²		 S 68.032243°
E 94.460449°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 12490 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 12466 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.762359619140625 y=0.760894775390625 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.762359619140625 × 214)
    floor (0.762359619140625 × 16384)
    floor (12490.5)     		tx = 12490
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.760894775390625 × 214)
    floor (0.760894775390625 × 16384)
    floor (12466.5)     		ty = 12466
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 12490 / 12466 ti = "14/12490/12466"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/12490/12466.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 12490 ÷ 214
    12490 ÷ 16384     		x = 0.7623291015625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 12466 ÷ 214
    12466 ÷ 16384     		y = 0.7608642578125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.7623291015625 × 2 - 1) × π
    0.524658203125 × 3.1415926535     		Λ = 1.64826236
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.7608642578125 × 2 - 1) × π
    -0.521728515625 × 3.1415926535     		Φ = -1.63905847180896
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.64826236} λ = 1.64826236}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.63905847180896))-π/2
    2×atan(0.19416276597546)-π/2
    2×0.191776586345703-π/2
    0.383553172691406-1.57079632675     		φ = -1.18724315
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.64826236} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 94.438477°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.18724315 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -68.024022°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 12490 KachelY 12466 1.64826236 -1.18724315 94.438477 -68.024022
    Oben rechts KachelX + 1 12491 KachelY 12466 1.64864585 -1.18724315 94.460449 -68.024022
    Unten links KachelX 12490 KachelY + 1 12467 1.64826236 -1.18738664 94.438477 -68.032243
    Unten rechts KachelX + 1 12491 KachelY + 1 12467 1.64864585 -1.18738664 94.460449 -68.032243
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.18724315--1.18738664) × R
    0.000143489999999913 × 6371000     		dl = 914.174789999445m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.18724315--1.18738664) × R
    0.000143489999999913 × 6371000     		dr = 914.174789999445m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.64826236-1.64864585) × cos(-1.18724315) × R
    0.000383490000000153 × 0.374217830658067 × 6371000     		do = 914.294538545868m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.64826236-1.64864585) × cos(-1.18738664) × R
    0.000383490000000153 × 0.374084762670352 × 6371000     		du = 913.969424870209m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.18724315)-sin(-1.18738664))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.374217830658067-0.374084762670352)×R²
    abs(1.64864585-1.64826236)×0.000133067987714508×R²
    0.000383490000000153×0.000133067987714508×6371000²
    0.000383490000000153×0.000133067987714508×40589641000000     		ar = 835676.413844157m²