Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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11 / 1249 / 1306
↖ ↑ ↗
← S 44.339565°
E 39.550781°		 ← 13.980 km → S 44.339565°
E 39.726563°		 →
↑
13.965 km
↓
↑
13.965 km
↓
S 44.465151°
E 39.550781°		 ← 13.950 km →
195.008 km²		 S 44.465151°
E 39.726563°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 11 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 1249 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1306 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.610107421875 y=0.637939453125 und der Vergrößerungsstufe zoom=11 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.610107421875 × 211)
    floor (0.610107421875 × 2048)
    floor (1249.5)     		tx = 1249
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.637939453125 × 211)
    floor (0.637939453125 × 2048)
    floor (1306.5)     		ty = 1306
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 11 / 1249 / 1306 ti = "11/1249/1306"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/11/1249/1306.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 1249 ÷ 211
    1249 ÷ 2048     		x = 0.60986328125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1306 ÷ 211
    1306 ÷ 2048     		y = 0.6376953125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.60986328125 × 2 - 1) × π
    0.2197265625 × 3.1415926535     		Λ = 0.69029135
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.6376953125 × 2 - 1) × π
    -0.275390625 × 3.1415926535     		Φ = -0.865165164342773
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.69029135} λ = 0.69029135}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.865165164342773))-π/2
    2×atan(0.420982015667029)-π/2
    2×0.398462462165216-π/2
    0.796924924330431-1.57079632675     		φ = -0.77387140
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.69029135} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 39.550781°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.77387140 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -44.339565°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 1249 KachelY 1306 0.69029135 -0.77387140 39.550781 -44.339565
    Oben rechts KachelX + 1 1250 KachelY 1306 0.69335932 -0.77387140 39.726563 -44.339565
    Unten links KachelX 1249 KachelY + 1 1307 0.69029135 -0.77606329 39.550781 -44.465151
    Unten rechts KachelX + 1 1250 KachelY + 1 1307 0.69335932 -0.77606329 39.726563 -44.465151
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.77387140--0.77606329) × R
    0.00219188999999997 × 6371000     		dl = 13964.5311899998m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.77387140--0.77606329) × R
    0.00219188999999997 × 6371000     		dr = 13964.5311899998m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.69029135-0.69335932) × cos(-0.77387140) × R
    0.00306797000000003 × 0.715210278458376 × 6371000     		do = 13979.5264725505m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.69029135-0.69335932) × cos(-0.77606329) × R
    0.00306797000000003 × 0.713676629233332 × 6371000     		du = 13949.5497082522m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.77387140)-sin(-0.77606329))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.715210278458376-0.713676629233332)×R²
    abs(0.69335932-0.69029135)×0.00153364922504395×R²
    0.00306797000000003×0.00153364922504395×6371000²
    0.00306797000000003×0.00153364922504395×40589641000000     		ar = 195008305.791893m²