Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 12488 / 12120
↖ ↑ ↗
← S 64.997939°
E 94.394531°		 ← 1 032.63 m → S 64.997939°
E 94.416504°		 →
↑
1 032.42 m
↓
↑
1 032.42 m
↓
S 65.007224°
E 94.394531°		 ← 1 032.27 m →
1 065 920 m²		 S 65.007224°
E 94.416504°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 12488 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 12120 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.762237548828125 y=0.739776611328125 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.762237548828125 × 214)
    floor (0.762237548828125 × 16384)
    floor (12488.5)     		tx = 12488
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.739776611328125 × 214)
    floor (0.739776611328125 × 16384)
    floor (12120.5)     		ty = 12120
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 12488 / 12120 ti = "14/12488/12120"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/12488/12120.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 12488 ÷ 214
    12488 ÷ 16384     		x = 0.76220703125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 12120 ÷ 214
    12120 ÷ 16384     		y = 0.73974609375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.76220703125 × 2 - 1) × π
    0.5244140625 × 3.1415926535     		Λ = 1.64749537
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.73974609375 × 2 - 1) × π
    -0.4794921875 × 3.1415926535     		Φ = -1.50636913366064
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.64749537} λ = 1.64749537}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.50636913366064))-π/2
    2×atan(0.221713530475488)-π/2
    2×0.218184140375644-π/2
    0.436368280751288-1.57079632675     		φ = -1.13442805
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.64749537} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 94.394531°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.13442805 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -64.997939°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 12488 KachelY 12120 1.64749537 -1.13442805 94.394531 -64.997939
    Oben rechts KachelX + 1 12489 KachelY 12120 1.64787886 -1.13442805 94.416504 -64.997939
    Unten links KachelX 12488 KachelY + 1 12121 1.64749537 -1.13459010 94.394531 -65.007224
    Unten rechts KachelX + 1 12489 KachelY + 1 12121 1.64787886 -1.13459010 94.416504 -65.007224
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.13442805--1.13459010) × R
    0.000162050000000136 × 6371000     		dl = 1032.42055000086m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.13442805--1.13459010) × R
    0.000162050000000136 × 6371000     		dr = 1032.42055000086m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.64749537-1.64787886) × cos(-1.13442805) × R
    0.000383490000000153 × 0.422650855736037 × 6371000     		do = 1032.62682174085m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.64749537-1.64787886) × cos(-1.13459010) × R
    0.000383490000000153 × 0.422503985473428 × 6371000     		du = 1032.26798614304m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.13442805)-sin(-1.13459010))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.422650855736037-0.422503985473428)×R²
    abs(1.64787886-1.64749537)×0.000146870262609178×R²
    0.000383490000000153×0.000146870262609178×6371000²
    0.000383490000000153×0.000146870262609178×40589641000000     		ar = 1065919.91895872m²