Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 12487 / 14599
↖ ↑ ↗
← N 19.238550°
W 42.813721°		 ← 1 153.42 m → N 19.238550°
W 42.802734°		 →
↑
1 153.47 m
↓
↑
1 153.47 m
↓
N 19.228177°
W 42.813721°		 ← 1 153.49 m →
1 330 473 m²		 N 19.228177°
W 42.802734°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 12487 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 14599 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.381088256835938 y=0.445541381835938 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.381088256835938 × 215)
    floor (0.381088256835938 × 32768)
    floor (12487.5)     		tx = 12487
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.445541381835938 × 215)
    floor (0.445541381835938 × 32768)
    floor (14599.5)     		ty = 14599
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 12487 / 14599 ti = "15/12487/14599"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/12487/14599.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 12487 ÷ 215
    12487 ÷ 32768     		x = 0.381072998046875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 14599 ÷ 215
    14599 ÷ 32768     		y = 0.445526123046875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.381072998046875 × 2 - 1) × π
    -0.23785400390625 × 3.1415926535     		Λ = -0.74724039
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.445526123046875 × 2 - 1) × π
    0.10894775390625 × 3.1415926535     		Φ = 0.342269463287201
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.74724039} λ = -0.74724039}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.342269463287201))-π/2
    2×atan(1.40813968834512)-π/2
    2×0.953286182582836-π/2
    1.90657236516567-1.57079632675     		φ = 0.33577604
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.74724039} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -42.813721°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.33577604 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 19.238550°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 12487 KachelY 14599 -0.74724039 0.33577604 -42.813721 19.238550
    Oben rechts KachelX + 1 12488 KachelY 14599 -0.74704864 0.33577604 -42.802734 19.238550
    Unten links KachelX 12487 KachelY + 1 14600 -0.74724039 0.33559499 -42.813721 19.228177
    Unten rechts KachelX + 1 12488 KachelY + 1 14600 -0.74704864 0.33559499 -42.802734 19.228177
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.33577604-0.33559499) × R
    0.000181050000000016 × 6371000     		dl = 1153.4695500001m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.33577604-0.33559499) × R
    0.000181050000000016 × 6371000     		dr = 1153.4695500001m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.74724039--0.74704864) × cos(0.33577604) × R
    0.000191749999999935 × 0.944154887251751 × 6371000     		do = 1153.41666834567m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.74724039--0.74704864) × cos(0.33559499) × R
    0.000191749999999935 × 0.944214528108996 × 6371000     		du = 1153.48952795779m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.33577604)-sin(0.33559499))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.944154887251751-0.944214528108996)×R²
    abs(-0.74704864--0.74724039)×5.96408572448581e-05×R²
    0.000191749999999935×5.96408572448581e-05×6371000²
    0.000191749999999935×5.96408572448581e-05×40589641000000     		ar = 1330473.02970574m²