Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 12482 / 12217
↖ ↑ ↗
← S 65.883704°
E 94.262695°		 ← 998.30 m → S 65.883704°
E 94.284668°		 →
↑
998.08 m
↓
↑
998.08 m
↓
S 65.892680°
E 94.262695°		 ← 997.95 m →
996 209 m²		 S 65.892680°
E 94.284668°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 12482 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 12217 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.761871337890625 y=0.745697021484375 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.761871337890625 × 214)
    floor (0.761871337890625 × 16384)
    floor (12482.5)     		tx = 12482
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.745697021484375 × 214)
    floor (0.745697021484375 × 16384)
    floor (12217.5)     		ty = 12217
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 12482 / 12217 ti = "14/12482/12217"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/12482/12217.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 12482 ÷ 214
    12482 ÷ 16384     		x = 0.7618408203125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 12217 ÷ 214
    12217 ÷ 16384     		y = 0.74566650390625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.7618408203125 × 2 - 1) × π
    0.523681640625 × 3.1415926535     		Λ = 1.64519439
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.74566650390625 × 2 - 1) × π
    -0.4913330078125 × 3.1415926535     		Φ = -1.54356816776581
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.64519439} λ = 1.64519439}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.54356816776581))-π/2
    2×atan(0.213617516800445)-π/2
    2×0.210454383852242-π/2
    0.420908767704485-1.57079632675     		φ = -1.14988756
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.64519439} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 94.262695°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.14988756 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -65.883704°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 12482 KachelY 12217 1.64519439 -1.14988756 94.262695 -65.883704
    Oben rechts KachelX + 1 12483 KachelY 12217 1.64557789 -1.14988756 94.284668 -65.883704
    Unten links KachelX 12482 KachelY + 1 12218 1.64519439 -1.15004422 94.262695 -65.892680
    Unten rechts KachelX + 1 12483 KachelY + 1 12218 1.64557789 -1.15004422 94.284668 -65.892680
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.14988756--1.15004422) × R
    0.000156660000000031 × 6371000     		dl = 998.080860000195m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.14988756--1.15004422) × R
    0.000156660000000031 × 6371000     		dr = 998.080860000195m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.64519439-1.64557789) × cos(-1.14988756) × R
    0.000383500000000092 × 0.408590069479181 × 6371000     		do = 998.299332072229m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.64519439-1.64557789) × cos(-1.15004422) × R
    0.000383500000000092 × 0.408447078063352 × 6371000     		du = 997.94996422025m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.14988756)-sin(-1.15004422))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.408590069479181-0.408447078063352)×R²
    abs(1.64557789-1.64519439)×0.000142991415828686×R²
    0.000383500000000092×0.000142991415828686×6371000²
    0.000383500000000092×0.000142991415828686×40589641000000     		ar = 996209.109246686m²