Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 12478 / 14598
↖ ↑ ↗
← N 19.248922°
W 42.912598°		 ← 1 153.34 m → N 19.248922°
W 42.901611°		 →
↑
1 153.34 m
↓
↑
1 153.34 m
↓
N 19.238550°
W 42.912598°		 ← 1 153.42 m →
1 330 242 m²		 N 19.238550°
W 42.901611°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 12478 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 14598 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.380813598632812 y=0.445510864257812 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.380813598632812 × 215)
    floor (0.380813598632812 × 32768)
    floor (12478.5)     		tx = 12478
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.445510864257812 × 215)
    floor (0.445510864257812 × 32768)
    floor (14598.5)     		ty = 14598
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 12478 / 14598 ti = "15/12478/14598"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/12478/14598.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 12478 ÷ 215
    12478 ÷ 32768     		x = 0.38079833984375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 14598 ÷ 215
    14598 ÷ 32768     		y = 0.44549560546875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.38079833984375 × 2 - 1) × π
    -0.2384033203125 × 3.1415926535     		Λ = -0.74896612
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.44549560546875 × 2 - 1) × π
    0.1090087890625 × 3.1415926535     		Φ = 0.342461210885681
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.74896612} λ = -0.74896612}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.342461210885681))-π/2
    2×atan(1.40840972163697)-π/2
    2×0.953376699438992-π/2
    1.90675339887798-1.57079632675     		φ = 0.33595707
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.74896612} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -42.912598°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.33595707 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 19.248922°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 12478 KachelY 14598 -0.74896612 0.33595707 -42.912598 19.248922
    Oben rechts KachelX + 1 12479 KachelY 14598 -0.74877437 0.33595707 -42.901611 19.248922
    Unten links KachelX 12478 KachelY + 1 14599 -0.74896612 0.33577604 -42.912598 19.238550
    Unten rechts KachelX + 1 12479 KachelY + 1 14599 -0.74877437 0.33577604 -42.901611 19.238550
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.33595707-0.33577604) × R
    0.000181030000000026 × 6371000     		dl = 1153.34213000017m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.33595707-0.33577604) × R
    0.000181030000000026 × 6371000     		dr = 1153.34213000017m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.74896612--0.74877437) × cos(0.33595707) × R
    0.000191749999999935 × 0.944095222039414 × 6371000     		do = 1153.34377898042m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.74896612--0.74877437) × cos(0.33577604) × R
    0.000191749999999935 × 0.944154887251751 × 6371000     		du = 1153.41666834567m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.33595707)-sin(0.33577604))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.944095222039414-0.944154887251751)×R²
    abs(-0.74877437--0.74896612)×5.96652123366903e-05×R²
    0.000191749999999935×5.96652123366903e-05×6371000²
    0.000191749999999935×5.96652123366903e-05×40589641000000     		ar = 1330242.00749231m²