Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 12472 / 20568
↖ ↑ ↗
← S 41.705729°
W 42.978516°		 ← 912.04 m → S 41.705729°
W 42.967529°		 →
↑
911.94 m
↓
↑
911.94 m
↓
S 41.713930°
W 42.978516°		 ← 911.92 m →
831 678 m²		 S 41.713930°
W 42.967529°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 12472 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 20568 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.380630493164062 y=0.627700805664062 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.380630493164062 × 215)
    floor (0.380630493164062 × 32768)
    floor (12472.5)     		tx = 12472
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.627700805664062 × 215)
    floor (0.627700805664062 × 32768)
    floor (20568.5)     		ty = 20568
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 12472 / 20568 ti = "15/12472/20568"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/12472/20568.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 12472 ÷ 215
    12472 ÷ 32768     		x = 0.380615234375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 20568 ÷ 215
    20568 ÷ 32768     		y = 0.627685546875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.380615234375 × 2 - 1) × π
    -0.23876953125 × 3.1415926535     		Λ = -0.75011661
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.627685546875 × 2 - 1) × π
    -0.25537109375 × 3.1415926535     		Φ = -0.80227195204126
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.75011661} λ = -0.75011661}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.80227195204126))-π/2
    2×atan(0.448309269047765)-π/2
    2×0.421447023639118-π/2
    0.842894047278235-1.57079632675     		φ = -0.72790228
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.75011661} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -42.978516°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.72790228 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -41.705729°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 12472 KachelY 20568 -0.75011661 -0.72790228 -42.978516 -41.705729
    Oben rechts KachelX + 1 12473 KachelY 20568 -0.74992486 -0.72790228 -42.967529 -41.705729
    Unten links KachelX 12472 KachelY + 1 20569 -0.75011661 -0.72804542 -42.978516 -41.713930
    Unten rechts KachelX + 1 12473 KachelY + 1 20569 -0.74992486 -0.72804542 -42.967529 -41.713930
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.72790228--0.72804542) × R
    0.000143140000000042 × 6371000     		dl = 911.944940000265m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.72790228--0.72804542) × R
    0.000143140000000042 × 6371000     		dr = 911.944940000265m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.75011661--0.74992486) × cos(-0.72790228) × R
    0.000191749999999935 × 0.746571667546648 × 6371000     		do = 912.041252012628m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.75011661--0.74992486) × cos(-0.72804542) × R
    0.000191749999999935 × 0.746476428140762 × 6371000     		du = 911.924903816251m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.72790228)-sin(-0.72804542))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.746571667546648-0.746476428140762)×R²
    abs(-0.74992486--0.75011661)×9.52394058862938e-05×R²
    0.000191749999999935×9.52394058862938e-05×6371000²
    0.000191749999999935×9.52394058862938e-05×40589641000000     		ar = 831678.354690655m²