Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 12471 / 14593
↖ ↑ ↗
← N 19.300775°
W 42.989502°		 ← 1 152.92 m → N 19.300775°
W 42.978516°		 →
↑
1 153.02 m
↓
↑
1 153.02 m
↓
N 19.290405°
W 42.989502°		 ← 1 152.99 m →
1 329 385 m²		 N 19.290405°
W 42.978516°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 12471 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 14593 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.380599975585938 y=0.445358276367188 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.380599975585938 × 215)
    floor (0.380599975585938 × 32768)
    floor (12471.5)     		tx = 12471
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.445358276367188 × 215)
    floor (0.445358276367188 × 32768)
    floor (14593.5)     		ty = 14593
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 12471 / 14593 ti = "15/12471/14593"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/12471/14593.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 12471 ÷ 215
    12471 ÷ 32768     		x = 0.380584716796875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 14593 ÷ 215
    14593 ÷ 32768     		y = 0.445343017578125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.380584716796875 × 2 - 1) × π
    -0.23883056640625 × 3.1415926535     		Λ = -0.75030835
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.445343017578125 × 2 - 1) × π
    0.10931396484375 × 3.1415926535     		Φ = 0.343419948878082
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.75030835} λ = -0.75030835}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.343419948878082))-π/2
    2×atan(1.40976066504288)-π/2
    2×0.953829197841453-π/2
    1.90765839568291-1.57079632675     		φ = 0.33686207
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.75030835} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -42.989502°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.33686207 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 19.300775°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 12471 KachelY 14593 -0.75030835 0.33686207 -42.989502 19.300775
    Oben rechts KachelX + 1 12472 KachelY 14593 -0.75011661 0.33686207 -42.978516 19.300775
    Unten links KachelX 12471 KachelY + 1 14594 -0.75030835 0.33668109 -42.989502 19.290405
    Unten rechts KachelX + 1 12472 KachelY + 1 14594 -0.75011661 0.33668109 -42.978516 19.290405
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.33686207-0.33668109) × R
    0.000180979999999997 × 6371000     		dl = 1153.02357999998m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.33686207-0.33668109) × R
    0.000180979999999997 × 6371000     		dr = 1153.02357999998m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.75030835--0.75011661) × cos(0.33686207) × R
    0.000191739999999996 × 0.943796481499599 × 6371000     		do = 1152.91869653795m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.75030835--0.75011661) × cos(0.33668109) × R
    0.000191739999999996 × 0.943856284847703 × 6371000     		du = 1152.9917508452m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.33686207)-sin(0.33668109))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.943796481499599-0.943856284847703)×R²
    abs(-0.75011661--0.75030835)×5.98033481039595e-05×R²
    0.000191739999999996×5.98033481039595e-05×6371000²
    0.000191739999999996×5.98033481039595e-05×40589641000000     		ar = 1329384.56322912m²