Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 12470 / 28723
↖ ↑ ↗
← N 21.682953°
W111.500244°		 ← 567.63 m → N 21.682953°
W111.494751°		 →
↑
567.59 m
↓
↑
567.59 m
↓
N 21.677848°
W111.500244°		 ← 567.65 m →
322 188 m²		 N 21.677848°
W111.494751°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 12470 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 28723 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.190284729003906 y=0.438285827636719 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.190284729003906 × 216)
    floor (0.190284729003906 × 65536)
    floor (12470.5)     		tx = 12470
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.438285827636719 × 216)
    floor (0.438285827636719 × 65536)
    floor (28723.5)     		ty = 28723
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 12470 / 28723 ti = "16/12470/28723"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/12470/28723.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 12470 ÷ 216
    12470 ÷ 65536     		x = 0.190277099609375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 28723 ÷ 216
    28723 ÷ 65536     		y = 0.438278198242188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.190277099609375 × 2 - 1) × π
    -0.61944580078125 × 3.1415926535     		Λ = -1.94604638
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.438278198242188 × 2 - 1) × π
    0.123443603515625 × 3.1415926535     		Φ = 0.387809517926254
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.94604638} λ = -1.94604638}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.387809517926254))-π/2
    2×atan(1.47374903477779)-π/2
    2×0.974617622920966-π/2
    1.94923524584193-1.57079632675     		φ = 0.37843892
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.94604638} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -111.500244°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.37843892 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 21.682953°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 12470 KachelY 28723 -1.94604638 0.37843892 -111.500244 21.682953
    Oben rechts KachelX + 1 12471 KachelY 28723 -1.94595050 0.37843892 -111.494751 21.682953
    Unten links KachelX 12470 KachelY + 1 28724 -1.94604638 0.37834983 -111.500244 21.677848
    Unten rechts KachelX + 1 12471 KachelY + 1 28724 -1.94595050 0.37834983 -111.494751 21.677848
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.37843892-0.37834983) × R
    8.90900000000139e-05 × 6371000     		dl = 567.592390000088m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.37843892-0.37834983) × R
    8.90900000000139e-05 × 6371000     		dr = 567.592390000088m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.94604638--1.94595050) × cos(0.37843892) × R
    9.58800000001592e-05 × 0.929242540303664 × 6371000     		do = 567.629181024395m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.94604638--1.94595050) × cos(0.37834983) × R
    9.58800000001592e-05 × 0.92927545272478 × 6371000     		du = 567.649285625544m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.37843892)-sin(0.37834983))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.929242540303664-0.92927545272478)×R²
    abs(-1.94595050--1.94604638)×3.29124211156939e-05×R²
    9.58800000001592e-05×3.29124211156939e-05×6371000²
    9.58800000001592e-05×3.29124211156939e-05×40589641000000     		ar = 322187.709313871m²