Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 12469 / 21107
↖ ↑ ↗
← S 45.974060°
W 43.011475°		 ← 849.02 m → S 45.974060°
W 43.000488°		 →
↑
849 m
↓
↑
849 m
↓
S 45.981695°
W 43.011475°		 ← 848.90 m →
720 768 m²		 S 45.981695°
W 43.000488°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 12469 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 21107 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.380538940429688 y=0.644149780273438 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.380538940429688 × 215)
    floor (0.380538940429688 × 32768)
    floor (12469.5)     		tx = 12469
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.644149780273438 × 215)
    floor (0.644149780273438 × 32768)
    floor (21107.5)     		ty = 21107
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 12469 / 21107 ti = "15/12469/21107"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/12469/21107.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 12469 ÷ 215
    12469 ÷ 32768     		x = 0.380523681640625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 21107 ÷ 215
    21107 ÷ 32768     		y = 0.644134521484375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.380523681640625 × 2 - 1) × π
    -0.23895263671875 × 3.1415926535     		Λ = -0.75069185
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.644134521484375 × 2 - 1) × π
    -0.28826904296875 × 3.1415926535     		Φ = -0.905623907622101
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.75069185} λ = -0.75069185}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.905623907622101))-π/2
    2×atan(0.404289567057205)-π/2
    2×0.384198801252158-π/2
    0.768397602504316-1.57079632675     		φ = -0.80239872
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.75069185} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -43.011475°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.80239872 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -45.974060°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 12469 KachelY 21107 -0.75069185 -0.80239872 -43.011475 -45.974060
    Oben rechts KachelX + 1 12470 KachelY 21107 -0.75050010 -0.80239872 -43.000488 -45.974060
    Unten links KachelX 12469 KachelY + 1 21108 -0.75069185 -0.80253198 -43.011475 -45.981695
    Unten rechts KachelX + 1 12470 KachelY + 1 21108 -0.75050010 -0.80253198 -43.000488 -45.981695
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.80239872--0.80253198) × R
    0.000133260000000024 × 6371000     		dl = 848.999460000152m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.80239872--0.80253198) × R
    0.000133260000000024 × 6371000     		dr = 848.999460000152m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.75069185--0.75050010) × cos(-0.80239872) × R
    0.000191750000000046 × 0.694983970220298 × 6371000     		do = 849.019696142151m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.75069185--0.75050010) × cos(-0.80253198) × R
    0.000191750000000046 × 0.694888146747612 × 6371000     		du = 848.902634426847m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.80239872)-sin(-0.80253198))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.694983970220298-0.694888146747612)×R²
    abs(-0.75050010--0.75069185)×9.58234726857743e-05×R²
    0.000191750000000046×9.58234726857743e-05×6371000²
    0.000191750000000046×9.58234726857743e-05×40589641000000     		ar = 720767.571954046m²