Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 12469 / 20570
↖ ↑ ↗
← S 41.722131°
W 43.011475°		 ← 911.81 m → S 41.722131°
W 43.000488°		 →
↑
911.75 m
↓
↑
911.75 m
↓
S 41.730330°
W 43.011475°		 ← 911.69 m →
831 292 m²		 S 41.730330°
W 43.000488°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 12469 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 20570 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.380538940429688 y=0.627761840820312 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.380538940429688 × 215)
    floor (0.380538940429688 × 32768)
    floor (12469.5)     		tx = 12469
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.627761840820312 × 215)
    floor (0.627761840820312 × 32768)
    floor (20570.5)     		ty = 20570
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 12469 / 20570 ti = "15/12469/20570"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/12469/20570.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 12469 ÷ 215
    12469 ÷ 32768     		x = 0.380523681640625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 20570 ÷ 215
    20570 ÷ 32768     		y = 0.62774658203125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.380523681640625 × 2 - 1) × π
    -0.23895263671875 × 3.1415926535     		Λ = -0.75069185
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.62774658203125 × 2 - 1) × π
    -0.2554931640625 × 3.1415926535     		Φ = -0.80265544723822
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.75069185} λ = -0.75069185}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.80265544723822))-π/2
    2×atan(0.448137377558219)-π/2
    2×0.421303888577273-π/2
    0.842607777154547-1.57079632675     		φ = -0.72818855
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.75069185} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -43.011475°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.72818855 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -41.722131°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 12469 KachelY 20570 -0.75069185 -0.72818855 -43.011475 -41.722131
    Oben rechts KachelX + 1 12470 KachelY 20570 -0.75050010 -0.72818855 -43.000488 -41.722131
    Unten links KachelX 12469 KachelY + 1 20571 -0.75069185 -0.72833166 -43.011475 -41.730330
    Unten rechts KachelX + 1 12470 KachelY + 1 20571 -0.75050010 -0.72833166 -43.000488 -41.730330
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.72818855--0.72833166) × R
    0.000143110000000002 × 6371000     		dl = 911.753810000012m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.72818855--0.72833166) × R
    0.000143110000000002 × 6371000     		dr = 911.753810000012m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.75069185--0.75050010) × cos(-0.72818855) × R
    0.000191750000000046 × 0.746381180095463 × 6371000     		do = 911.808545066155m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.75069185--0.75050010) × cos(-0.72833166) × R
    0.000191750000000046 × 0.746285930072162 × 6371000     		du = 911.692183899128m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.72818855)-sin(-0.72833166))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.746381180095463-0.746285930072162)×R²
    abs(-0.75050010--0.75069185)×9.52500233007969e-05×R²
    0.000191750000000046×9.52500233007969e-05×6371000²
    0.000191750000000046×9.52500233007969e-05×40589641000000     		ar = 831291.870004417m²