Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 12466 / 21105
↖ ↑ ↗
← S 45.958787°
W 43.044434°		 ← 849.25 m → S 45.958787°
W 43.033447°		 →
↑
849.19 m
↓
↑
849.19 m
↓
S 45.966424°
W 43.044434°		 ← 849.14 m →
721 129 m²		 S 45.966424°
W 43.033447°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 12466 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 21105 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.380447387695312 y=0.644088745117188 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.380447387695312 × 215)
    floor (0.380447387695312 × 32768)
    floor (12466.5)     		tx = 12466
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.644088745117188 × 215)
    floor (0.644088745117188 × 32768)
    floor (21105.5)     		ty = 21105
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 12466 / 21105 ti = "15/12466/21105"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/12466/21105.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 12466 ÷ 215
    12466 ÷ 32768     		x = 0.38043212890625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 21105 ÷ 215
    21105 ÷ 32768     		y = 0.644073486328125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.38043212890625 × 2 - 1) × π
    -0.2391357421875 × 3.1415926535     		Λ = -0.75126709
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.644073486328125 × 2 - 1) × π
    -0.28814697265625 × 3.1415926535     		Φ = -0.90524041242514
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.75126709} λ = -0.75126709}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.90524041242514))-π/2
    2×atan(0.404444639897297)-π/2
    2×0.384332081131894-π/2
    0.768664162263789-1.57079632675     		φ = -0.80213216
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.75126709} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -43.044434°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.80213216 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -45.958787°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 12466 KachelY 21105 -0.75126709 -0.80213216 -43.044434 -45.958787
    Oben rechts KachelX + 1 12467 KachelY 21105 -0.75107534 -0.80213216 -43.033447 -45.958787
    Unten links KachelX 12466 KachelY + 1 21106 -0.75126709 -0.80226545 -43.044434 -45.966424
    Unten rechts KachelX + 1 12467 KachelY + 1 21106 -0.75107534 -0.80226545 -43.033447 -45.966424
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.80213216--0.80226545) × R
    0.000133290000000064 × 6371000     		dl = 849.190590000405m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.80213216--0.80226545) × R
    0.000133290000000064 × 6371000     		dr = 849.190590000405m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.75126709--0.75107534) × cos(-0.80213216) × R
    0.000191750000000046 × 0.695175608892516 × 6371000     		do = 849.253809465951m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.75126709--0.75107534) × cos(-0.80226545) × R
    0.000191750000000046 × 0.695079788540627 × 6371000     		du = 849.136751563134m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.80213216)-sin(-0.80226545))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.695175608892516-0.695079788540627)×R²
    abs(-0.75107534--0.75126709)×9.58203518897083e-05×R²
    0.000191750000000046×9.58203518897083e-05×6371000²
    0.000191750000000046×9.58203518897083e-05×40589641000000     		ar = 721128.642353031m²